【进阶篇】高级数值积分方法：MATLAB中的高斯求积法实现

# 2.1 高斯求积公式的推导

高斯求积公式是基于正交多项式理论推导得到的。对于区间 `[a, b]` 上的函数 `f(x)`，其正交多项式序列 `{p_n(x)}` 满足：

∫[a, b] p_i(x) p_j(x) w(x) dx = δ_{i, j}

其中，`w(x)` 是区间 `[a, b]` 上的权函数，`δ_{i, j}` 是克罗内克函数。

对于区间 `[a, b]` 上的 `n` 次多项式 `p_n(x)`，其高斯求积公式为：

∫[a, b] f(x) dx ≈ ∑_{i=1}^n w_i f(x_i)

其中，`x_i` 是 `p_n(x)` 的 `n` 个正交根，`w_i` 是对应的权重。

高斯求积公式的推导过程如下：

1. 构建正交多项式序列 `{p_n(x)}`。
2. 求出正交多项式 `p_n(x)` 的正交根 `{x_i}`。
3. 求出正交根对应的权重 `{w_i}`。
4. 将 `f(x)` 在正交根处的值代入高斯求积公式，得到近似积分值。

# 2.1 高斯求积公式的推导

高斯求积公式是基于正交多项式理论推导而来的。对于区间 `[a, b]` 上的函数 `f(x)`，其高斯求积公式为：

∫[a, b] f(x) dx ≈ ∑[i=1, n] w[i] f(x[i])

其中：

* `n` 为求积点数
* `w[i]` 为权重系数
* `x[i]` 为积分节点

**推导过程：**

1. **构造正交多项式：**
对于区间 `[a, b]`，构造一组正交多项式 `p[i](x)`，满足：

   ∫[a, b] p[i](x) p[j](x) dx = δ[i, j]

其中，`δ[i, j]` 为克罗内克函数。

2. **构造积分公式：**
将函数 `f(x)` 在区间 `[a, b]` 上展开为正交多项式：

   f(x) = ∑[i=0, ∞] c[i] p[i](x)

其中，`c[i]` 为展开系数。

将展开式代入积分公式，得到：

   ∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, b] ∑[i=0, ∞] c[i] p[i](x) dx

由于正交多项式的性质，只有有限项非零，因此可以截断展开式：

   ∫[a, b] f(x) dx ≈ ∫[a, b] ∑[i=0, n-1] c[i] p[i](x) dx

其中，`n` 为截断次数。

3. **确定积分节点和权重系数：**
选择 `n` 个积分节点 `x[i]`，使得以下方程组成立：

   ∫[a, b] p[j](x) dx = ∑[i=1, n] w[i] p[j](x[i])

求解方程组，即可得到积分节点和权重系数。

**推导结果：**

对于区间 `[a, b]`，高斯求积公式的积分节点和权重系数为：

x[i] = (b - a) / 2 * cos(π (i - 1/2) / n) + (a + b) / 2
w[i] = (b - a) / 2 * sin(π (i - 1/2) / n) / sin(π (i - 1/2) / 2n)

# 3.1 MATLAB中的高斯求积函数

MATLAB提供了内置的高斯求积函数`quadgk`，用于计算一维积分。该函数使用自适应高斯求积算法，自动选择求积节点和权重，以获得较高的精度。

% 语法
integral = quadgk(@fun, a, b, tol)

% 参数说明
- fun：被积函数句柄
- a：积分下限
- b：积分上限
- tol：容差，指定积分精度

**代码逻辑分析：**

1. `quadgk`函数接受四个参数：被积函数句柄、积分下限、积分上限和容差。
2. 函数内部使用自适应高斯求积算法，根据被积函数的复杂程度和容差要求，自动选择求积节点和权重。
3. 算法采用分治策略，将积分区间不断细分，直到满足容差要求。
4. 函数返回积分结果，表示被积函数在给定区间上的积分值。

**示例：**

% 被积函数
fun = @(x) exp(-x.^2);

% 积分区间
a = -1;
b = 1;

% 容差
tol = 1e-6;

% 计算积分
integral = quadgk(fun, a,