【实战演练】 时间序列ARIMA模型实现商品销量预测

# 2.1 ARIMA模型的原理和步骤

### 2.1.1 时间序列的平稳性检验

在建立ARIMA模型之前，需要对时间序列进行平稳性检验。平稳性是指时间序列的均值、方差和自相关系数在时间上保持相对稳定。常用的平稳性检验方法有：

- **单位根检验：**通过ADF检验或KPSS检验来判断时间序列是否存在单位根，即是否存在非平稳性。
- **自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）：**观察ACF和PACF图中自相关系数的衰减速度，如果衰减缓慢则表明时间序列存在平稳性问题。

### 2.1.2 模型参数的估计和选择

ARIMA模型的参数包括：

- **p：**自回归阶数，表示时间序列中当前值与过去p个值的线性关系。
- **d：**差分阶数，表示需要对时间序列进行d次差分才能达到平稳。
- **q：**滑动平均阶数，表示时间序列中当前值与过去q个残差的线性关系。

模型参数的估计通常采用极大似然法，通过最小化残差平方和来得到最优参数。模型选择可以使用信息准则，如AIC或BIC，来选择最优模型。

# 2. ARIMA模型理论与实践

### 2.1 ARIMA模型的原理和步骤

**2.1.1 时间序列的平稳性检验**

时间序列的平稳性是指时间序列的均值、方差和自相关系数随时间保持恒定。平稳性检验是ARIMA模型建立的基础，常用的平稳性检验方法包括：

- **ADF检验：**检验时间序列是否存在单位根，即是否存在非平稳性。
- **KPSS检验：**检验时间序列是否存在平稳性，即是否存在单位根。

**代码块：**

import statsmodels.api as sm

# ADF检验
def adf_test(timeseries):
    print('ADF Test Results:')
    result = sm.tsa.stattools.adfuller(timeseries)
    print('ADF Statistic: {}'.format(result[0]))
    print('p-value: {}'.format(result[1]))
    print('Critical Values:')
    for key, value in result[4].items():
        print('\t{}: {}'.format(key, value))

# KPSS检验
def kpss_test(timeseries):
    print('KPSS Test Results:')
    result = sm.tsa.stattools.kpss(timeseries)
    print('KPSS Statistic: {}'.format(result[0]))
    print('p-value: {}'.format(result[1]))
    print('Critical Values:')
    for key, value in result[3].items():
        print('\t{}: {}'.format(key, value))

**逻辑分析：**

ADF检验和KPSS检验都是基于时间序列的平稳性假设进行的。ADF检验假设时间序列存在单位根，即非平稳性，而KPSS检验假设时间序列不存在单位根，即平稳性。如果ADF检验的p值小于0.05，则拒绝时间序列存在单位根的假设，认为时间序列平稳；如果KPSS检验的p值大于0.05，则拒绝时间序列不存在单位根的假设，认为时间序列非平稳。

**2.1.2 模型参数的估计和选择**

ARIMA模型的参数包括自回归阶数(p)、差分阶数(d)和移动平均阶数(q)。模型参数的估计和选择通常采用以下步骤：

1. **自相关分析：**分析时间序列的自相关系数图和偏自相关系数图，确定自回归阶数(p)和移动平均阶数(q)。
2. **差分分析：**对时间序列进行差分，消除非平稳性，确定差分阶数(d)。
3. **参数估计：**使用最大似然估计法估计模型参数。
4. **模型选择：**根据赤池信息准则(AIC)或贝叶斯信息准则(BIC)选择最优模型。

**代码块：**

import pmdarima as pm

# 自相关分析
def acf_pacf_plot(timeseries):
    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 6))
    sm.graphics.tsa.plot_acf(timeseries, ax=ax1)
    ax1.set_title('Autocorrelation Function')
    sm.graphics.tsa.plot_pacf(timeseries, ax=ax2)
    ax2.set_title('Partial Autocorrelation Function')
    plt.show()

# 模型参数估计
def arima_model(timeseries, p, d, q):
    model = pm.auto_arima(timeseries, order=(p, d, q), seasonal=False)
    print('ARIMA Model Summary:')
    print(model.summary())
    return model

# 模型选择
def model_selection(timeseries):
    aic_values = []
    bic_values = []
    for p in range(0, 5):
        for d in range(0, 3):
            for q in range(0, 5):
                model = pm.auto_arima(timeseries, order=(p, d, q), seasonal=False)
                aic_values.append(model.aic())
                bic_values.ap