【进阶篇】复杂矩阵操作：MATLAB中的Schur分解和Jordan形式

# 2.1 Schur分解的基本概念和性质

Schur分解是一种矩阵分解技术，它将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。

**基本概念：**

给定一个复矩阵 A，其Schur分解形式为：

A = Q * T * Q^H

其中：

* Q 是一个酉矩阵，即 Q^H * Q = I
* T 是一个上三角矩阵，其对角线元素是 A 的特征值

**性质：**

* Schur分解是唯一的，即对于给定的 A，存在唯一的 Q 和 T 满足上述分解式。
* T 的对角线元素是 A 的特征值，并且特征值按其代数重数排列。
* Q 的列向量是 A 的特征向量，即 A * Q = Q * T。

# 2. Schur分解的理论与算法

### 2.1 Schur分解的基本概念和性质

**Schur分解**是一种矩阵分解技术，它将一个方阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。对于一个实对称矩阵，其Schur分解形式为：

A = Q * T * Q^T

其中：

* **A** 是待分解的实对称矩阵
* **Q** 是一个酉矩阵，即其转置等于其逆
* **T** 是一个上三角矩阵，其对角线元素是A的特征值

Schur分解具有以下性质：

* **正交性：** Q是酉矩阵，因此 Q^T * Q = I，其中I是单位矩阵。这表明Q的列向量是正交的。
* **对角化：** T是对角矩阵，因此其对角线元素是A的特征值。
* **唯一性：**对于给定的A，其Schur分解是唯一的，除了酉矩阵Q的列向量顺序可以不同。

### 2.2 Schur分解的算法实现

#### 2.2.1 QR算法

QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的Schur分解。该算法通过一系列QR分解将A分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。

**算法步骤：**

1. 将A初始化为A0。
2. 对k = 1, 2, ..., n-1，执行以下步骤：
* 对A_k进行QR分解，得到A_k = Q_k * R_k。
* 更新A_k+1 = R_k * Q_k。
3. 令T = A_n，Q = Q_1 * Q_2 * ... * Q_n。

**代码块：**

def schur_qr(A):
    """
    使用QR算法计算矩阵A的Schur分解。

    参数：
        A：待分解的实对称矩阵

    返回：
        T：上三角矩阵，其对角线元素是A的特征值
        Q：酉矩阵，其列向量是A的特征向量
    """
    n = A.shape[0]
    Q = np.eye(n)
    for k in range(n-1):
        A, Q = qr(A)
        Q = Q @ Q_k
    T = A
    return T, Q

**逻辑分析：**

该代码块实现了QR算法。它首先将A初始化为A0，然后通过一系列QR分解迭代更新A。在每次迭代中，它将A分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积，并更新A和Q。最后，它返回上三角矩阵T和酉矩阵Q。

#### 2.2.2 分治法

分治法是一种递归算法，用于计算矩阵的Schur分解。该算法将A分解为较小的块，并递归地计算这些块的Schur分解。

**算法步骤：**

1. 如果A是一个2x2矩阵，则直接计算其特征值和特征向量。
2. 否则，将A分解为以下形式：

A = [A11 A12]
    [A21 A22]

其中A11和A22是子矩阵。
3. 递归地计算A11和A22的Schur分解。
4. 将A11和A22的Schur分解组合起来，得到A的Schur分解。

**代码块：**

def schur_divide(A):
    """
    使用分治法计算矩阵A的Schur分解。

    参数：
        A：待分解的实对称矩阵

    返回：
        T：上三角矩阵，其对角线元素是A的特征值
        Q：酉矩阵，其列向量是A的特征向量
    """
    n = A.shape[0]
    if n == 2:
        return schur_2x2(A)
    else:
        # 分解A
        A11 = A[:n//2, :n//2]
        A12 = A[:n//2, n//2:]
        A21 = A[n//2:, :n//2]
        A22 = A[n//2:, n//2:]

        # 递归计算子矩阵的Schur分解
        T11, Q1 = schur_divide(A11)
        T22, Q2 = schur_divide(A22)

        # 组合子矩阵的Schur分解
        T = np.block([[T11, A12 @ Q2],
                     [Q1.T @ A21, T22]])
        Q = np.block([[Q1, np.zeros((n//2, n//2))],
                     [np.zeros((n//2, n//2