【进阶篇】在MATLAB中使用高斯过程进行回归分析

# 2.1 高斯过程模型

高斯过程（GP）是一种非参数贝叶斯模型，它将函数视为一个高斯分布。GP 模型假设函数的任何有限维子集都服从多元高斯分布，即：

f(x_1), ..., f(x_n) ~ N(μ, K)

其中：

* `f(x)` 是函数在输入 `x` 处的取值
* `μ` 是函数的均值向量
* `K` 是协方差矩阵，其元素 `K(x_i, x_j)` 表示输入 `x_i` 和 `x_j` 处的函数值的协方差

# 2. 高斯过程回归理论基础

### 2.1 高斯过程模型

高斯过程 (GP) 是一种非参数贝叶斯模型，它将函数视为随机变量。在 GP 中，函数的每个有限维子集都服从多元正态分布。GP 的数学定义如下：

f(x) ~ GP(m(x), k(x, x'))

其中：

- `f(x)` 是 GP 定义的函数
- `m(x)` 是函数的均值函数
- `k(x, x')` 是协方差函数（也称为核函数）

协方差函数描述了函数在不同输入值之间的相关性。常见的协方差函数包括：

- 平方指数核
- 线性核
- 周期核

### 2.2 核函数

核函数是 GP 模型中最重要的组成部分之一。它决定了函数的平滑度和相关性。常用的核函数包括：

| 核函数 | 表达式 | 特征 |
|---|---|---|
| 平方指数核 | `k(x, x') = exp(-γ ||x - x'||^2)` | 平滑，适用于平稳函数 |
| 线性核 | `k(x, x') = x^T x'` | 线性，适用于线性函数 |
| 周期核 | `k(x, x') = exp(-2 sin^2(π(x - x') / p))` | 周期性，适用于具有周期性模式的函数 |

### 2.3 先验分布和后验分布

在 GP 模型中，函数 `f(x)` 的先验分布由均值函数 `m(x)` 和协方差函数 `k(x, x')` 定义。当观测到数据 `D = {(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)}` 时，函数 `f(x)` 的后验分布由贝叶斯定理计算如下：

p(f(x) | D) ∝ p(D | f(x)) p(f(x))

其中：

- `p(D | f(x))` 是似然函数，表示在给定函数 `f(x)` 的情况下观测到数据的概率
- `p(f(x))` 是函数 `f(x)` 的先验分布

后验分布提供了函数 `f(x)` 在观测数据条件下的分布。它可以用来预测新输入值 `x*` 的函数值，如下所示：

p(f(x*) | D) = ∫ p(f(x*) | f(x), D) p(f(x) | D) df(x)

其中：

- `p(f(x*) | f(x), D)` 是预测分布，表示在给定函数 `f(x)` 和观测数据 `D` 的情况下预测 `f(x*)` 的概率
- `p(f(x) | D)` 是函数 `f(x)` 的后验分布

后验分布和预测分布是 GP 回归的关键组成部分，它们提供了对函数 `f(x)` 的不确定性建模。

# 3. 高斯过程回归实践应用

### 3.1 数据准备和预处理

在应用高斯过程回归之前，需要对数据进行适当的准备和预处理，以确保模型的准确性和鲁棒性。数据准备和预处理的主要步骤包