【进阶篇】MATLAB随机过程分析

# 1. 随机过程基础**

随机过程是描述随时间或空间变化的随机现象的数学模型。它是一个随机变量的集合，其中每个随机变量对应于时间或空间的一个特定时刻或位置。随机过程广泛应用于工程、物理、金融和生物学等领域，用于描述诸如噪声、信号、交通流和股票价格等现象。

本节将介绍随机过程的基础概念，包括定义、分类和基本性质。我们将讨论随机过程的类型，例如平稳过程和非平稳过程，以及它们的时间和频域特性。此外，我们将探讨随机过程的统计特性，例如均值、方差和自相关函数。

# 2.1 时域建模

### 2.1.1 自相关函数和功率谱密度

**自相关函数**

自相关函数度量随机过程在不同时间点的相关性。对于一个实值随机过程 $X(t)$，其自相关函数定义为：

R_X(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]

其中 $\tau$ 是时移。自相关函数表示当时移为 $\tau$ 时，随机过程在时间 $t$ 和 $t+\tau$ 的相关性。

**功率谱密度**

功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，它表示随机过程在不同频率上的功率分布。功率谱密度定义为：

S_X(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-i2\pi f\tau} d\tau

其中 $f$ 是频率。功率谱密度提供了随机过程中每个频率分量的功率信息。

### 2.1.2 线性时不变系统的响应

**线性时不变系统**

线性时不变系统是输入和输出之间具有线性关系且时移不变的系统。对于一个线性时不变系统，其输出 $Y(t)$ 可以表示为输入 $X(t)$ 的卷积：

Y(t) = h(t) * X(t)

其中 $h(t)$ 是系统的冲激响应。

**随机过程的响应**

如果输入是一个随机过程 $X(t)$，则输出也是一个随机过程 $Y(t)$。$Y(t)$ 的自相关函数可以表示为：

R_Y(\tau) = h(\tau) * R_X(\tau)

其中 $*$ 表示卷积运算。

**功率谱密度**

$Y(t)$ 的功率谱密度可以表示为：

S_Y(f) = |H(f)|^2 S_X(f)

其中 $H(f)$ 是系统的频率响应。

**代码块：**

import numpy as np
imp