softmax回归梯度下降公式推导

softmax回归是一种广泛用于多分类问题的机器学习模型，它的梯度下降公式推导是理解其训练过程的关键。在softmax回归中，我们通常有多个输出节点，每个节点对应一个类别的概率。梯度下降的目标是最小化预测概率分布与实际标签之间的交叉熵损失。

假设我们有一个训练样本（x, y），其中x是输入特征向量，y是对应的类别标签。softmax函数为每个类别的概率分配值，公式为：

\[ P(y=j \mid x) = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \]

这里的\( z_j = w_j^T x + b_j \)，w是权重向量，b是偏置项，K是类别数。

交叉熵损失函数L可以表示为：

\[ L = -\sum_{j=1}^K y_j \log(P(y=j \mid x)) \]

为了最小化这个损失，我们使用梯度下降算法更新参数，计算损失关于权重w和偏置b的偏导数。对于权重w和偏置项b的梯度，我们有：

\[ \frac{\partial L}{\partial w_j} = x \left( P(y=j \mid x) - y_j \right) \]
\[ \frac{\partial L}{\partial b_j} = P(y=j \mid x) - y_j \]

然后，按照学习率η进行更新：

\[ w_j := w_j - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial w_j} \]
\[ b_j := b_j - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial b_j} \]

注意这里\( P(y=j \mid x) \)在计算梯度时会被用到，因此在实际应用中，我们通常不会直接用softmax函数，而是用softmax函数的指数形式来避免数值溢出。