设A = { 1, 2, …, 10 }，对于A上的模3等价关系（即同余关系）R = { < x, y > | (x y)/3Z }，如何证明此关系是等价关系？等价类[x]R有哪几类？

要证明模3同余关系是等价关系，需要满足以下三个条件：

1. 自反性：对于任何x∈A，都有xRx，即x与自己同余。
2. 对称性：对于任何x, y∈A，如果xRy，则yRx，即同余关系是对称的。
3. 传递性：对于任何x, y, z∈A，如果xRy且yRz，则xRz，即同余关系是传递的。

现在我们分别来证明这三个条件：

1. 自反性：对于任何x∈A，都有x/3*0，即x与自己同余，因此自反性成立。

2. 对称性：对于任何x, y∈A，如果xRy，则x-y=3k，其中k∈Z。因为3k=(-3)(-k)，所以yRx也成立，即同余关系是对称的。

3. 传递性：对于任何x, y, z∈A，如果xRy且yRz，则x-y=3k1，y-z=3k2，其中k1, k2∈Z。将两个式子相加，得到x-z=3(k1+k2)，因此xRz，即同余关系是传递的。

因此，模3同余关系是等价关系。

对于等价类[x]R，它的定义是{x∈A | xRy}，也就是说，它包含所有与x模3同余的元素。因此，等价类共有3个，分别是[0]R={0, 3, 6, 9}，[1]R={1, 4, 7, 10}，[2]R={2, 5, 8}。

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设A = { 1, 2, …, 10 }，对于A上的模3等价关系（即同余关系）R = { < x, y > | (x  y)/3Z }，如何证明此关系是等价关系？等价类[x]R有哪几类？

要证明此关系是等价关系，需要证明它满足自反性、对称性和传递性。

1. 自反性：对于任意的x∈A，有x-x=0，0/3=0∈Z，因此有<x,x>∈R，即任意元素都与自身等价。

2. 对称性：对于任意的x,y∈A，若<x,y>∈R，则(x-y)/3∈Z，即(y-x)/(-3)∈Z，因此有<y,x>∈R，即若x与y等价，则y也与x等价。

3. 传递性：对于任意的x,y,z∈A，若<x,y>∈R且<y,z>∈R，则(x-y)/3∈Z且(y-z)/3∈Z，因此(x-z)/3=(x-y)/3+(y-z)/3∈Z，即<x,z>∈R，即若x与y等价，y与z等价，则x与z也等价。

由此可知，该关系是等价关系。

根据模3等价关系的定义，对于任意的x∈A，它的等价类可以表示为：

- 如果x mod 3 = 0，则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 10}。
- 如果x mod 3 = 1，则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 9}。
- 如果x mod 3 = 2，则[x]R = {x, x+3, x+6, …, 8}。

因此，等价类一共有3类。

设a={0，2，3，4，6，7，8}，r为a上的模4等价关系，用列举法求出r？写出a中各元素关于r的等价类

列举法求出r的过程如下：
- 0与自身模4同余，因此0与自身等价
- 2与6、8模4同余，因此2与6、8等价
- 3与自身模4同余，因此3与自身等价
- 4与自身模4同余，因此4与自身等价
- 7与自身模4同余，因此7与自身等价

因此，r包括以下等价关系：
{(0, 0), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (4, 4), (7, 7)}

a中各元素关于r的等价类为：
- [0]: {0}
- [2]: {2, 6, 8}
- [3]: {3}
- [4]: {4}
- [7]: {7}