设A = { 1, 2, …, 10 },对于A上的模3等价关系(即同余关系)R = { < x, y > | (x y)/3Z },如何证明此关系是等价关系?等价类[x]R有哪几类?
时间: 2024-04-01 13:31:12 浏览: 14
要证明模3同余关系是等价关系,需要满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任何x∈A,都有xRx,即x与自己同余。
2. 对称性:对于任何x, y∈A,如果xRy,则yRx,即同余关系是对称的。
3. 传递性:对于任何x, y, z∈A,如果xRy且yRz,则xRz,即同余关系是传递的。
现在我们分别来证明这三个条件:
1. 自反性:对于任何x∈A,都有x/3*0,即x与自己同余,因此自反性成立。
2. 对称性:对于任何x, y∈A,如果xRy,则x-y=3k,其中k∈Z。因为3k=(-3)(-k),所以yRx也成立,即同余关系是对称的。
3. 传递性:对于任何x, y, z∈A,如果xRy且yRz,则x-y=3k1,y-z=3k2,其中k1, k2∈Z。将两个式子相加,得到x-z=3(k1+k2),因此xRz,即同余关系是传递的。
因此,模3同余关系是等价关系。
对于等价类[x]R,它的定义是{x∈A | xRy},也就是说,它包含所有与x模3同余的元素。因此,等价类共有3个,分别是[0]R={0, 3, 6, 9},[1]R={1, 4, 7, 10},[2]R={2, 5, 8}。
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4. 划分为一个等价类:{{1,2,3}}
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