李亚普诺夫指数画图 matlab

李亚普诺夫指数（Lyapunov Exponent）是描述动力系统对初始条件敏感性的一个重要指标。通过计算李亚普诺夫指数，可以判断系统的稳定性。以下是如何在MATLAB中绘制李亚普诺夫指数图的步骤：

1. **定义系统方程**：首先，需要定义系统的动力学方程。例如，考虑一个简单的二维系统：
\[
\dot{x} = \sigma(y - x)
\]
\[
\dot{y} = x(\rho - z) - y
\]
\[
\dot{z} = xy - \beta z
\]
这就是著名的洛伦兹系统。

2. **计算李亚普诺夫指数**：使用MATLAB中的ODE求解器来数值求解系统方程，并计算李亚普诺夫指数。

3. **绘制李亚普诺夫指数图**：使用MATLAB的绘图功能将计算结果可视化。

以下是一个示例代码，演示如何在MATLAB中计算并绘制洛伦兹系统的李亚普诺夫指数：

% 定义洛伦兹系统
function dx = lorenz(t, x, sigma, rho, beta)
    dx = zeros(3,1);
    dx(1) = sigma * (x(2) - x(1));
    dx(2) = x(1) * (rho - x(3)) - x(2);
    dx(3) = x(1) * x(2) - beta * x(3);
end

% 主程序
sigma = 10;
rho = 28;
beta = 8/3;
initial_conditions = [1; 1; 1];
[t, x] = ode45(@(t, x) lorenz(t, x, sigma, rho, beta), [0 100], initial_conditions);

% 计算李亚普诺夫指数
% 使用Jacobian矩阵计算
jacobian = @(x) [ -sigma, sigma, 0; rho - x(3), -1, -x(1); x(2), x(1), -beta ];

% 使用QR分解计算李亚普诺夫指数
n = length(x);
m = length(x(1,:));
Q = eye(m);
for i = 1:n
    J = jacobian(x(i,:));
    [Q, R] = qr(J * Q);
end

% 计算李亚普诺夫指数
lyapunov_exponents = log(diag(R)) / t(end);

% 绘制李亚普诺夫指数图
figure;
plot(1:n, lyapunov_exponents, 'LineWidth', 2);
xlabel('时间');
ylabel('李亚普诺夫指数');
title('洛伦兹系统的李亚普诺夫指数');
grid on;

这个代码首先定义了一个洛伦兹系统的动力学方程，然后使用ODE求解器`ode45`来数值求解系统方程。接着，通过计算Jacobian矩阵并使用QR分解来计算李亚普诺夫指数，最后绘制李亚普诺夫指数随时间变化的图。