李亚普诺夫函数matlab

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是描述动力系统稳定性的一种函数。在MATLAB中，可以使用以下代码计算李雅普诺夫函数：

function lyp_func = lyapunov_function(A, Q)
% A为动力系统的状态转移矩阵
% Q为正定对称矩阵，表示李雅普诺夫函数的权重

n = size(A, 1); % 系统维度
lyp_func = eye(n); % 初始化李雅普诺夫函数

for i = 1 : 100 % 迭代次数
lyp_func = A' * lyp_func * A - Q; % 更新李雅普诺夫函数
end
end

注意，这只是一个简单的示例，具体的实现可能会根据具体情况而有所不同。

相关问题

李亚普诺夫稳定性matlab

李雅普诺夫稳定性是一种用于判断非线性系统稳定性的方法，它基于李雅普诺夫函数的性质。在MATLAB中，我们可以利用Lyapunov函数来进行稳定性分析。

首先，我们需要定义系统的状态方程。假设系统的状态方程为dx/dt = f(x)，其中x是系统的状态向量。

然后，我们选择一个Lyapunov函数V(x)，它满足以下条件：
1. V(x)是正定的，即对于所有x ≠ 0，有V(x) > 0。
2. V(x)在x = 0处取得最小值，即V(0) = 0。
3. dV(x)/dt ≤ 0，即Lyapunov函数的导数在整个状态空间内都是负的。

根据Lyapunov函数的性质，如果存在一个满足上述条件的Lyapunov函数，则系统是稳定的。

在MATLAB中，我们可以通过编写脚本来进行Lyapunov稳定性分析。以下是一个示例脚本：

% 定义系统的状态方程
syms x1 x2; % 假设系统是二维的
f = [x2; -x1 - x2^3];

% 定义Lyapunov函数和其导数
syms V;
V = x1^2 + x2^2; % 假设Lyapunov函数为系统状态变量的平方和
dV = jacobian(V, [x1 x2]) * f;

% 判断Lyapunov函数的性质
isStable = simplify(dV <= 0); % 判断导数是否小于等于0

if(isStable)
    disp('系统是稳定的');
else
    disp('系统是不稳定的');
end

在这个示例中，我们假设系统是一个二维系统，状态变量为x1和x2。我们选择Lyapunov函数为状态变量的平方和，然后计算Lyapunov函数的导数。最后，判断Lyapunov函数的导数是否小于等于0，如果是，则系统是稳定的。

请注意，Lyapunov稳定性分析是一种复杂的方法，需要根据具体的系统和Lyapunov函数进行分析。以上只是一个简单的示例，实际应用中可能需要更复杂的分析方法和Lyapunov函数的选择。

李亚普诺夫分析系统实例

### 李亚普诺夫稳定性分析实例

#### 无人机姿态控制系统中的李亚普诺夫方法

在无人机姿态控制中，李亚普诺夫稳定性理论用于设计控制器以确保飞行器的姿态角（俯仰、滚转和偏航）能够快速而精确地响应指令并保持稳定。考虑一个简单的单输入单输出(SISO)系统模型：

假设无人机的滚动角度 $\theta$ 可由如下二阶微分方程描述：
$$ \ddot{\theta} + a\dot{\theta} + b\sin(\theta)=u $$
其中$a,b>0$ 是常系数；$\theta,\dot{\theta}$ 分别表示角度及其变化率；$u$ 表示施加给舵机的力矩。

为了验证该闭环系统的渐近稳定性，可以构建一个合适的能量函数作为候选Lyapunov 函数 V :
\[V=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}
e & e_{d}\\
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
c_1& c_2\\
c_2 & c_3 \\
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
e \\
e_d
\end{array}\right]+k_p (\delta-\delta_r)^2+k_i\int^{t}_{0}(δ(t)-δ_r)dτ^2\]

这里选择了二次型形式的能量函数来衡量状态偏差大小，并引入了比例-积分(PID)调节项$k_pe,k_i∫edt$补偿累积误差的影响。当参数$c_1,c_2,c_3, k_p ,k_i >0$, 并适当选取时，则有:

* 当且仅当所有变量都等于零($e=e_d=0;\delta=\delta_r; ∫edt=0)$时,V 才会取最小值即为0；
* 对于任何非零初始条件,$\dot{V}<0$ 成立意味着随着时间推移总能量不断减少直至耗尽达到平衡位置。

因此根据上述性质即可得出结论说这个PID 控制下的无人机姿态调整过程是全局稳定的[^3]。

% MATLAB Simulation Code for UAV Attitude Control Using Lyapunov Method
clear all;
close all;

% System Parameters Definition
a = 5; % Damping Coefficient
b = 8; % Gravity Constant Multiplier
kp = 1.5; ki = .75; kd = .9;% PID Gains Selections 

% Time Span Setup For ODE Solver
timeSpan=[0:.01:10];

% Initial Conditions Setting Up
initialConditions=[pi/6 ; pi/4]; %[rad], initial roll angle and angular velocity.

[T,Y]=ode45(@(t,y)[y(2);-(a*y(2)+b*sin(y(1)))+(kp*(refAngle-y(1))+ki*cumsum(refVelocities-y(2)).*.01)],...
    timeSpan,[initialConditions]);

figure();
plot(T,Y(:,1),'r',T,refAngles,'g');
xlabel('Time(s)');
ylabel('\Theta(rad)');
legend('Actual Roll Angle','Reference Command')
title('UAV Roll Angle Response Under PID Controller Based On Lyapunov Stability Theory')