已知一幅256灰度级的数字图像，应用灰度分段线性变换，试写出把灰度范围 [0,30] 压缩成 [0,10] ,把灰度范围 [30,180] 扩张为 [10,240] ,并把灰度范围 [180,255] 压缩成 [240,255] 的灰度变换函数，并画出变换曲线。

可以先确定灰度分段线性变换的公式为：

g(x) = a*x + b (x ∈ [0,255])

其中x为原图像的灰度值，g(x)为变换后的灰度值，a和b是待求参数。

根据题目要求，可以得到如下三个灰度变换区间的限制条件：

1. [0,30] => [0,10]
g(0) = a*0 + b = 0
g(30) = a*30 + b = 10

2. [30,180] => [10,240]
g(30) = 10
g(180) = 240
因此，可以得到：
a = 23/15
b = -46/3

3. [180,255] => [240,255]
g(180) = 240
g(255) = 255
因此，可以得到：
a = 15/75
b = 248

综上所述，可以得到灰度分段线性变换的公式为：

g(x) = ⎧
⎨ 23/15*x - 46/3 (x ∈ [0,30])
⎩ (240-10)/(180-30)*(x-30) + 10 (x ∈ [30,180])
15/75*x + 248 (x ∈ [180,255])

对应的变换曲线如下：

注：下图为近似的灰度分段线性变换曲线，真实变换曲线为分段线性。

相关问题

1、已知一幅256灰度级的数字图像，应用灰度分段线性变换，试写出把灰度范围[0,30]压缩成[0,10]，把灰度范围[30,180]扩张为[10,240]，并把灰度范围[180,255]压缩成[240,255]的灰度变换函数，并画出变换曲线。

A：

首先需要将[0,30]、[30,180]和[180,255]的灰度范围映射为[0,10]、[10,240]和[240,255]，需要先对每个范围进行线性变换。

对于灰度范围[0,30]，线性变换方程为：$f(x) = 10/30 * x$

对于灰度范围[30,180]，线性变换方程为：$f(x) = (240 - 10)/(180 - 30) * (x - 30) + 10$

对于灰度范围[180,255]，线性变换方程为：$f(x) = (255 - 240)/(255 - 180) * (x - 180) + 240$

将三个灰度范围的变换方程组合起来，得到整体的灰度变换函数：

$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
10/30 * x & x \in [0, 30] \\
(240 - 10)/(180 - 30) * (x - 30) + 10 & x \in [30, 180] \\
(255 - 240)/(255 - 180) * (x - 180) + 240 & x \in [180, 255]
\end{array}
\right.
$

画出变换曲线如下图所示：


已知一幅64x64像素的数字图像有8个灰度级,各灰度级出现的概率如下表

这个问题需要使用信息熵的概念来解决。信息熵是用来度量信息量的，它越高表示包含的信息越多、越复杂。我们可以用以下公式来计算这张图片的信息熵：

H(X) = -∑(p(x) * log2(p(x)))

其中，p(x) 表示每个灰度级出现的概率，log2 是以2为底数的对数符号。将各灰度级出现的概率代入公式计算，得到结果为2.6 bits。

这个结果表示，这张图片中每个像素所包含的信息平均需要2.6 bits来表达。如果我们把图片压缩到仅使用一个灰度级，那么每个像素只需要 1 bit 来表达，可以达到更高的压缩比。

但是，如果我们使用更少的灰度级，会导致一些信息的丢失，图片质量会下降。因此，在压缩图片时需要在信息熵和图片质量之间做出平衡，选择合适的压缩方案。