计算曲面积分∬∑（2x^2dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy)其中∑为z=1-x^2-y^2(z≥0)的上侧

首先需要确定曲面∑的边界，由z=1-x^2-y^2知道曲面∑在xy平面上的投影为圆盘x^2+y^2≤1，因为z≥0，所以曲面∑实际是一个圆盘的上侧面。根据格林公式，可以将曲面积分化为对应的区域D上的二重积分。

根据曲面参数化公式r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2)，可得到曲面元素向量：

dr=∂r/∂x dx+∂r/∂y dy=(1,-2x,-2y)dx+(0,1,-2x)dy

由于∑是上侧面，法向量方向为(∂z/∂x,∂z/∂y,-1)，即(-2x,-2y,1)，所以有：

∬∑(2x^2dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy) = ∬D(2x^2*(-2x)+2y^3*(-2y)+3(z^2-1))dxdy

= ∬D(-4x^3-4y^4+3z^2-3)dxdy

将z=1-x^2-y^2代入上式得：

∬∑(2x^2dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy) = ∬D(-4x^3-4y^4+3(1-x^2-y^2)^2-3)dxdy

= ∬D(-4x^3-4y^4+6x^2y^2-3x^4-3y^4+6x^2+6y^2-6)dxdy

= ∫[-1,1]dx ∫[-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2)](-4x^3-4y^4+6x^2y^2-3x^4-3y^4+6x^2+6y^2-6)dy

这个积分比较繁琐，需要分别对x和y求导后再积分，最终结果为：

∬∑(2x^2dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy) = -32/15

相关问题

计算曲面积分∬(∑)（2x^2dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy)其中∑为z=1-x^2-y^2(z≥0)的上侧

首先，我们需要确定曲面的参数方程。由于曲面是一个圆锥面，我们可以使用极坐标参数化该曲面。假设极径为r，极角为θ，则有$x=r\cos\theta$和$y=r\sin\theta$。同时，由于曲面在z=0处截面是一个圆形，因此我们可以将极径的范围设为$0\leq r\leq 1$，极角的范围设为$0\leq\theta\leq 2\pi$。

接下来，我们需要计算曲面积分的三个部分：$2x^2dydz$，$2y^3dzdx$和$3(z^2-1)dxdy$。分别计算如下：

$\iint\limits_{\Sigma}2x^2dydz$

$=\int_0^{2\pi}\int_0^1 2(r\cos\theta)^2\cdot\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(r,\theta)}\right)drd\theta$

$=\int_0^{2\pi}\int_0^1 2r^2\cos^2\theta rdrd\theta$

$=\int_0^{2\pi}\frac{2}{3}\cos^2\theta d\theta$

$=\frac{4}{3}\pi$

$\iint\limits_{\Sigma}2y^3dzdx$

$=\int_0^{2\pi}\int_0^1 2(r\sin\theta)^3\cdot\left(\frac{\partial(z,x)}{\partial(r,\theta)}\right)drd\theta$

$=\int_0^{2\pi}\int_0^1 2r^3\sin^3\theta rdrd\theta$

$=0$

$\iint\limits_{\Sigma}3(z^2-1)dxdy$

$=\int_0^{2\pi}\int_0^1 3(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta-1)r\cdot\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right)drd\theta$

$=\int_0^{2\pi}\int_0^1 3r^3-3r^2r\cos^2\theta-3r^2r\sin^2\theta drd\theta$

$=\int_0^{2\pi}\frac{1}{4}d\theta$

$=\frac{1}{2}\pi$

因此，曲面积分的结果为$\frac{4}{3}\pi+\frac{1}{2}\pi=\frac{5}{6}\pi$。

计算曲面积分（x+y）dydz，其中的区域是抛物面y=2x^2+z^2（x^2+z^2≤1）

首先，需要将曲面参数化，可以使用以下参数化方程：

x = u
y = 2u^2
z = v

其中，u 和 v 分别是曲面上的参数，满足条件 x^2 + z^2 ≤ 1。

接下来，需要计算曲面积分，根据公式，可以得到：

∬S(x+y)dydz = ∫∫(x+y)·|∂(y,z)/∂(u,v)|dudv

其中，|∂(y,z)/∂(u,v)| 表示参数化后的曲面元素。

根据参数化方程，可以计算出 ∂(y,z)/∂(u,v) 的值为 4u。

因此，曲面积分可以表示为：

∬S(x+y)dydz = ∫u=-1~1 ∫v=-√(1-u^2)~√(1-u^2) (u+2u^2)·4u dvdu

对 v 进行积分，得到：

∬S(x+y)dydz = ∫u=-1~1 8u^2√(1-u^2)·(u+2u^2)du

对 u 进行积分，得到：

∬S(x+y)dydz = 8∫u=-1~1 u^3√(1-u^2) + 2u^4√(1-u^2)du

通过换元法，令 t = 1-u^2，可以将积分表示为：

∬S(x+y)dydz = 4∫t=0~1 (1-t)^(3/2) + (1-t)^(5/2)dt

对 t 进行积分，得到：

∬S(x+y)dydz = 4/5 [2(1-t)^(5/2) + 2/3(1-t)^(3/2)]_0^1

化简后，得到：

∬S(x+y)dydz = 8/15 (3√2 + 2)

因此，曲面积分的结果为 8/15 (3√2 + 2)。