二维复合梯形积分公式和复合辛普森公式推导

二维复合梯形积分公式：

设$f(x,y)$在闭区域$D=[a,b]\times[c,d]$上连续，则有二维复合梯形公式：

$$\iint\limits_{D}f(x,y) {\rm d}x{\rm d}y\approx\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{h_1h_2}{4}[f(x_i,y_j)+f(x_{i-1},y_j)+f(x_i,y_{j-1})+f(x_{i-1},y_{j-1})]$$

其中，$x_0=a,y_0=c,x_m=b,y_n=d$，$h_1=(b-a)/m,h_2=(d-c)/n$。

复合辛普森公式：

设$f(x,y)$在闭区域$D=[a,b]\times[c,d]$上具有二阶连续偏导数，则有二维复合辛普森公式：

$$\iint\limits_{D}f(x,y) {\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{9}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}[f(x_{2i-2},y_{2j-2})+4f(x_{2i-1},y_{2j-2})+2f(x_{2i},y_{2j-2})+4f(x_{2i-2},y_{2j-1})+16f(x_{2i-1},y_{2j-1})$$

$$+4f(x_{2i},y_{2j-1})+2f(x_{2i-2},y_{2j})+4f(x_{2i-1},y_{2j})+f(x_{2i},y_{2j})]$$

其中，$x_0=a,y_0=c,x_m=b,y_n=d$，$h_1=(b-a)/2m,h_2=(d-c)/2n$。

推导：

对于二维复合梯形积分公式，将$[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$上的$f(x,y)$近似为一个平面，于是有：

$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{4}[f(x_i,y_j)+f(x_{i-1},y_j)+f(x_i,y_{j-1})+f(x_{i-1},y_{j-1})]$$

对于区域$D$，将其分成$m$个小区间$[x_{i-1},x_i]\times[c,d]$，再在每个小区间上分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$，然后采用上述公式计算每个小区间上的积分，最终加和得到整个区域上的数值积分。

对于二维复合辛普森公式，我们采用二维复合梯形积分公式的思路，将$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[y_{2j-2},y_{2j}]$上的$f(x,y)$近似为一个二次函数，于是有：

$$\int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}\int_{y_{2j-2}}^{y_{2j}}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{9}[f(x_{2i-2},y_{2j-2})+4f(x_{2i-1},y_{2j-2})+2f(x_{2i},y_{2j-2})+4f(x_{2i-2},y_{2j-1})+16f(x_{2i-1},y_{2j-1})$$

$$+4f(x_{2i},y_{2j-1})+2f(x_{2i-2},y_{2j})+4f(x_{2i-1},y_{2j})+f(x_{2i},y_{2j})]$$

对于区域$D$，同样先将其分成$m$个小区间$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[c,d]$，再在每个小区间上分成$n$个小区间$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[y_{2j-2},y_{2j}]$，最终采用上述公式计算每个小区间上的积分，最终加和得到整个区域上的数值积分。