理解MATLAB定积分辛普森规则：经典方法的应用

# 1. 定积分概述

定积分是微积分中一个重要的概念，它表示函数在一定区间内的面积或体积。定积分的定义为：

∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑(i=1)^n f(x_i) Δx

其中，[a, b] 是积分区间，f(x) 是被积函数，Δx = (b - a) / n 是区间[a, b]的划分长度，x_i 是区间[a, b]中的第i个划分点。

定积分具有许多重要的性质，例如线性性、可加性和中值定理。这些性质使得定积分在数学和科学中得到了广泛的应用，例如计算面积、体积、功和力矩等。

# 2. 辛普森规则的理论基础

### 2.1 梯形规则的不足

梯形规则是求定积分的一种数值积分方法，其基本思想是将积分区间等分成若干个子区间，并在每个子区间内用直线段近似被积函数的曲线，然后求各子区间近似值的和作为定积分的近似值。

梯形规则的计算公式为：

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * [f(a) + f(b)]

其中，[a, b]是积分区间，f(x)是被积函数。

梯形规则简单易用，但在某些情况下存在不足：

* **精度较低：**梯形规则只考虑了被积函数在子区间端点的值，而忽略了子区间内的变化，因此精度较低。
* **误差较大：**当被积函数在积分区间内变化较快时，梯形规则的误差会比较大。

### 2.2 辛普森规则的推导

辛普森规则是梯形规则的改进，它通过考虑子区间内被积函数的二次曲线近似来提高精度。

辛普森规则的推导过程如下：

1. 将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
2. 在每个子区间[x_i, x_{i+1}]内，用二次多项式f(x)近似被积函数f(x)，即：

f(x) ≈ a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2

其中，a_i、b_i、c_i是二次多项式的系数。
3. 求出二次多项式的系数：

a_i = f(x_i)
b_i = (f(x_{i+1}) - f(x_i)) / h
c_i = (f(x_{i+1}) - 2f(x_i) + f(x_{i-1})) / h^2

4. 将二次多项式在子区间[x_i, x_{i+1}]上的积分作为定积分的近似值：

∫[x_i, x_{i+1}] f(x) dx ≈ ∫[x_i, x_{i+1}] (a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2) dx

5. 求出每个子区间的近似值并求和，得到定积分的近似值：

∫[a, b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]

### 2.3 辛普森规则的误差分析

辛普森规则的误差主要由被积函数的四阶导数引起。

辛普森规则的误差公式为：

E = -h^4/180 * f^{(4)}(c)

其中，h是子区间的长度，f^{(4)}(c)是被积函数的四阶导数在积分区间[a, b]内的某个点c处的取值。

从误差公式可以看出，当h较小时，误差与h^4成正比，即辛普森规则的精度较高。当被积函数的四阶导数较小时，误差也较小。

# 3. 辛普森规则在MATLAB中的实现

### 3.1 基本函数的使用

MATLAB提供了两个用于计算定积分的基本函数：`trapz`和`quad`。

#### 3.1.1 `trapz`函数

`trapz`