偏差预测的多目标优化的动态规划方法
时间: 2023-11-04 14:26:46 浏览: 27
针对偏差预测的多目标优化问题,可以使用动态规划方法求解。动态规划是一种基于递推的优化方法,适用于有重复子问题和最优子结构性质的问题。
具体地,假设有 $n$ 个预测模型需要优化,每个模型对应一个偏差值和一个代价值,分别为 $b_i$ 和 $c_i$。目标是要找到一个模型集合 $S$,使得它们的平均偏差最小,且总代价不超过某个给定的阈值 $T$。即:
$$ \min_{S} \frac{1}{|S|}\sum_{i \in S} b_i $$
$$\text{s.t.} \sum_{i \in S} c_i \leq T$$
为了方便起见,我们将预测模型按照代价值从小到大排序,即 $c_1 \leq c_2 \leq \cdots \leq c_n$。然后定义 $f(i,j)$ 为考虑前 $i$ 个模型,总代价不超过 $j$ 时的最小平均偏差。因为每个模型都有两个属性,所以状态转移方程中需要考虑两个变量:
$$ f(i,j) = \begin{cases} 0, & i=0,j=0 \\ \infty, & i=0,j>0 \\ \frac{1}{i}\sum_{k=1}^i b_k, & i>0,j=0 \\ \min\{\max\{f(i-1,j-c_i),\frac{1}{i}\sum_{k=1}^i b_k\}\}, & i>0,j>0 \end{cases} $$
其中,第一个情况表示没有模型可选且总代价为0时的最小平均偏差为0;第二个情况表示没有模型可选但总代价不为0时的最小平均偏差无穷大;第三个情况表示没有代价限制但有模型可选时的最小平均偏差为所有模型偏差的平均值;第四个情况表示有代价限制且有模型可选时,需要从两个决策中选择最小的一个:选择第 $i$ 个模型,此时总代价必须要在限制范围内,并且平均偏差不能超过前 $i$ 个模型的平均偏差;或者不选择第 $i$ 个模型,此时平均偏差等于前 $i-1$ 个模型的平均偏差。
最终的结果为 $f(n,T)$,即考虑所有模型,总代价不超过 $T$ 时的最小平均偏差。该算法时间复杂度为 $O(nT)$,可以在多项式时间内求解。