∫(-1，1)f(x)dx=w1f(x1)+w2f(x2)+w3f(x3)+w4f(x4) 并证明该积分公式的最高代数精度，需要有详细的推导和求解过程

### 回答1：
这是一个半积分公式，通常称为"辛普森积分公式"，是一种常用的数值积分方法。它的基本思想是将积分区间划分成若干个小区间，并在每个小区间上选择一个积分点，然后用积分点的函数值近似地代替该区间内的积分值。公式如下：

∫(-1, 1)f(x)dx ≈ w1f(x1) + w2f(x2) + w3f(x3) + w4f(x4)

其中x1, x2, x3, x4是积分点，w1, w2, w3, w4是对应的积分系数。

这个公式的最高代数精度为4，即它能够精确计算4次多项式。具体证明如下：

设f(x)在区间[-1,1]上是n次多项式，则可以写成：

f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n

考虑在区间[-1,1]上选择四个积分点x1, x2, x3, x4。根据积分系数的定义，有：

w1 = (b2 - b1)/3
w2 = (b2 - b1)/3
w3 = (b2 - b1)/3
w4 = (b2 - b1)/3

其中b1, b2是x1, x2的定义域。

因此，上述公式可以写成：

∫(-1, 1)f(x)dx ≈ (b2 - b1)(a0 + a1(x1 + x2 + x3 + x4)/4 + a2(x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2)/4 + ... + an(x1^n + x2^n + x3^n + x4^n)/4)

由此可以得到：

∫(-1, 1)

### 回答2：
根据题目给出的信息，我们需要找到一组权重系数w1、w2、w3、w4和节点值x1、x2、x3、x4，使得

∫(-1，1)f(x)dx = w1f(x1) + w2f(x2) + w3f(x3) + w4f(x4)

为了证明该积分公式的最高代数精度，我们需要确认以下两个条件：

1. 上述公式对于所有度数小于等于3的多项式都成立；
2. 上述公式对于某个度数等于4的多项式不成立。

首先，为了满足第一个条件，我们可以考虑使用拉格朗日插值多项式。选取节点值如下：

x1 = -1，x2 = -1/3，x3 = 1/3，x4 = 1

然后，我们需要确定对应的权重系数w1、w2、w3、w4。根据拉格朗日插值多项式的定义，权重系数可以表示为：

w1 = ∫L1(x)dx，w2 = ∫L2(x)dx，w3 = ∫L3(x)dx，w4 = ∫L4(x)dx

这里，L1(x)、L2(x)、L3(x)、L4(x)是Lagrange插值的基函数。

通过计算上述权重系数的积分，我们可以得到它们的值。将上述基函数代入上面的权重系数公式，我们可以求解出具体数值。

经过计算，可以得到如下权重系数值：

w1 ≈ 0.166667，w2 ≈ 0.666667，w3 ≈ 0.666667，w4 ≈ 0.166667。

接下来，我们需要验证第二个条件。我们构造一个度数为4的多项式P(x)，利用上面的积分公式进行计算。如果计算结果与精确解不相等，则说明该积分公式的最高代数精度不满足。

取P(x) = x^4，我们可以计算左右两边的值：

∫(-1，1)x^4 dx = [x^5/5]在-1到1的积分 = 0

w1f(x1) + w2f(x2) + w3f(x3) + w4f(x4) = 0.166667 * (-1)^4 + 0.666667 * (-1/3)^4 + 0.666667 * (1/3)^4 + 0.166667 * 1^4 ≈ 0.37037

由于0 ≠ 0.37037，所以积分公式的最高代数精度为3。

### 回答3：
为了回答这个问题，我们将使用高斯-勒让德积分公式。该公式可以表示为：

∫(-1,1)f(x)dx = w1f(x1) + w2f(x2) + w3f(x3) + w4f(x4)

其中x1，x2，x3，x4是高斯-勒让德多项式的零点，w1，w2，w3，w4是对应的权重。

现在我们来推导这个公式的最高代数精度。

首先，我们假设函数f(x)可以用n次多项式来近似，即f(x) = Pn(x)。

将f(x)代入上述积分公式中，得到：

∫(-1,1) Pn(x)dx = w1Pn(x1) + w2Pn(x2) + w3Pn(x3) + w4Pn(x4)

现在我们需要证明这个公式对于任何n ≤ 2k-1都成立，其中k是权重的数量（这里k=4）。

我们已知高斯-勒让德多项式Pn(x)的最高次数是n，它可以表示为Pn(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + ... + anPn(x)，其中P0(x)，P1(x)，...，Pn(x)是高斯-勒让德多项式的基函数。

现在我们将Pn(x)代入上述积分公式中，并利用高斯-勒让德正交性质，即∫(-1,1)Pm(x)Pn(x)dx = 0（当m≠n），得到：

∫(-1,1) Pn(x)dx = w1a0P0(x1) + w2a0P0(x2) + w3a0P0(x3) + w4a0P0(x4)

由于P0(x1)，P0(x2)，P0(x3)，P0(x4)都等于1，我们可以将这些项合并，得到：

∫(-1,1) Pn(x)dx = a0(w1 + w2 + w3 + w4)

注意到a0，w1，w2，w3，w4都是常数，我们可以将它们合并为一个新的常数C1，得到：

∫(-1,1) Pn(x)dx = C1

这就证明了积分公式的最高代数精度是1（即，积分结果是一个常数）。