频域循环卷积定理证明

频域循环卷积定理，也称为离散傅里叶变换（DFT）的周期性性质，是一个信号处理和数字信号分析的基本原理。这个定理表明，如果两个有限长序列通过线性系统处理，那么它们在频域中的结果可以通过将各自频谱相乘然后取圆周平均得到。

证明通常基于复数指数函数的性质，即\( e^{j\omega n} \)在每个完整周期（\( n = 0, 1, ..., N-1 \)）内都是相同的，其中\( j \)是虚数单位，\( \omega \)是频率角，\( N \)是序列长度。对于两个序列\( x[n] \)和\( h[n] \)，它们的线性卷积\( y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]h[n-k] \)在频域中对应于它们的频谱\( X(\omega) \)和\( H(\omega) \)的乘积，并除以\( N \)：

\[ Y(\omega) = \frac{1}{N} X(\omega) * H(\omega) \]

这里的星号(*)表示频域中的点乘（convolution），而圆周平均是因为\( e^{j\omega (n+N)} = e^{j\omega n} \)。因此，只需计算\( \omega \in [0, 2\pi) \)范围内的分段乘积即可。