正弦函数的一维傅里叶变换 代码实现

正弦函数的一维傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）描述了一个周期信号在频域的表现。对于正弦信号 f(t) = A * sin(2πft + φ)，其DTFT可以表示为：

\[ F(\omega) = \frac{A}{2} \left[ δ(\omega - f) + δ(\omega + f) \right] + \frac{A \cdot e^{j\phi}}{2} \left[ δ(\omega - f + \pi) + δ(\omega + f + \pi) \right] \]

这里 \( δ \) 是狄利克雷函数，\( j \) 是虚数单位，\( f \) 是频率，而 \( ω \) 是离散频域变量。

在实际编程中，例如用Python的`numpy`库，你可以使用`fft`函数来计算。以下是一个简单的例子：

import numpy as np

def sine_function_ft(sine_signal, sample_rate):
    # 假设sample_rate是采样率，sine_signal是时间序列的正弦信号
    freq_domain = np.fft.fft(sine_signal)
    
    # 计算频率轴（范围通常是0到采样率-1）
    freq_axis = np.linspace(0, sample_rate - 1, len(freq_domain))
    
    # 对实部和虚部分别处理
    real_part = freq_domain.real
    imag_part = freq_domain.imag
    
    # 返回幅度谱和相位谱
    amplitude_spectrum = np.abs(freq_domain)
    phase_spectrum = np.angle(freq_domain)
    
    return freq_axis, amplitude_spectrum, phase_spectrum

# 示例用法
sine_wave = np.sin(2 * np.pi * 5 * np.arange(1000) / 1000)  # 创建一个5Hz的正弦波
freq_axis, amp_spec, phase_spec = sine_function_ft(sine_wave, 1000)