采用递归树求解以下递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n

递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2) n>1

首先，我们可以画出递归树来帮助我们求解该递归方程。
对于递归方程 T(n) = 4T(n/2)，我们可以将其表示成以下递归树：

T(n)
/ \
T(n/2) T(n/2)
/ \ / \
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
... ... ... ...

我们可以看到，每一层的节点数为原来的一半，即第 k 层有 2^(k-1) 个节点，因此，我们可以得到该递归树共有 log(n) 层。因此，我们可以得到以下公式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)

接下来，我们可以使用等比数列求和公式来简化上式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)
= (4^log(n+1) - 1)/(4-1) （等比数列求和公式）
= (2n-1)

因此，最终结果为 T(n) = 2n - 1。

相关问题

采用主方法求解以下递归方程：T(n)=1 当n=1时 T(n)=4T(n/2)+n^2 当n>1时

根据主方法，递归方程形如 T(n) = aT(n/b) + f(n)。

对于给定的递归方程T(n) = 4T(n/2) + n^2，我们有a = 4，b = 2，和f(n) = n^2。

现在我们需要计算f(n)和n^(log_b a)之间的关系。我们有：

f(n) = n^2

n^(log_b a) = n²

因此，根据主方法的第三种情况，复杂度是O(n^2 log n)。

因此，递归方程T(n)的解为T(n) = O(n^2 log n)。

采用递归树求解以下递归方程；T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n 当n>1时

首先画出递归树：

      n
      |
    __|__
   |     |
  n/2    n/2
  |      |
__|__  __|__
|   |  |   |
n/4 n/4 n/4 n/4

可以发现，每层的结点数都是原来层的两倍，而第一层只有一个结点。因此，第k层的结点数为2^(k-1)。

接下来计算每层的代价总和。第一层代价为T(1) = 1。对于每个子问题T(n/2)，代价都是4倍，因此第二层代价总和为4T(n/2)。同理，每层的代价总和也是4倍。因此，第k层的代价总和为4^k T(n/2^k)。

当子问题的规模降至1时停止递归。也就是说，当n/2^k = 1时，求解就停止了。解出k = log2(n)。

因此，总代价为：

T(n) = 1 + 4T(n/2) + 4^2T(n/4) + ... + 4^(log2(n)-1)T(1)
= 1 + 4T(n/2) + 4^2T(n/4) + ... + 4^(log2(n)-1)
= 1 + 4(1 + 4T(n/4) + 4^2T(n/8) + ... + 4^(log2(n)-2))
+ 4^(log2(n)-1)
= 1 + 4 + 4^2T(n/4) + ... + 4^(log2(n)-1)
= 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log2(n)-1)
= (4^log2(n) - 1) / (4 - 1)
= 3n - 1

因此，递归方程的解为T(n) = 3n - 1。