求解如下递归方程T(1)=1,n=1;T(1)=4T(n/2)+n,n>1

可以使用主定理（Master Theorem）来求解这个递归方程。

首先，将递归方程表示成通用形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中，a = 4, b = 2, f(n) = n。

然后，计算常数项 c = logb(a) = 2。

根据主定理，递归方程的解为：

- 如果 f(n) = O(n^(c-ε))，其中 ε > 0，则 T(n) = Θ(n^c) = Θ(n^2)。
- 如果 f(n) = Θ(n^c log^k n)，其中 k ≥ 0，则 T(n) = Θ(n^c log^(k+1) n) = Θ(n^2 log n)。
- 如果 f(n) = Ω(n^(c+ε))，其中 ε > 0，并且 a f(n/b) ≤ cf(n) 对于足够大的 n 成立，则 T(n) = Θ(f(n)) = Θ(n log n)。

因为 f(n) = n = Θ(n^c)，所以根据主定理，递归方程的解为 T(n) = Θ(n^c log n) = Θ(n^2 log n)。因此，该递归方程的解为 T(n) = Θ(n^2 log n)。

相关问题

求解如下递归方程T(1)=1，n=1;4T(n/2)+n^2

我们可以使用主定理（Master Theorem）来求解这个递归方程。主定理是一个用于求解形如 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$ 的递归方程的定理，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数，$f(n)$ 是一个非负函数。

这个递归方程中，$a=4$，$b=2$，$f(n)=n^2$。因为 $f(n)=n^2$ 是一个多项式函数，所以我们可以使用主定理的第二种情况：

如果存在一个常数 $\epsilon > 0$，使得 $f(n) = \mathcal{O}(n^{\log_b a - \epsilon})$，那么 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$。

首先，我们计算出 $\log_b a=\log_2 4=2$。然后，我们需要找到一个常数 $\epsilon > 0$，使得 $f(n) = n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_b a - \epsilon}) = \mathcal{O}(n^{2-\epsilon})$。

取 $\epsilon=1$，则 $n^2 = \mathcal{O}(n^{2-\epsilon})$。因此，根据主定理第二种情况，$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) = \Theta(n^2)$。

因此，递归方程 $T(1)=1$，$T(n)=4T(n/2)+n^2$ 的解为 $T(n) = \Theta(n^2)$。

采用递归树求解以下递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n

递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2) n>1

首先，我们可以画出递归树来帮助我们求解该递归方程。
对于递归方程 T(n) = 4T(n/2)，我们可以将其表示成以下递归树：

T(n)
/ \
T(n/2) T(n/2)
/ \ / \
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
... ... ... ...

我们可以看到，每一层的节点数为原来的一半，即第 k 层有 2^(k-1) 个节点，因此，我们可以得到该递归树共有 log(n) 层。因此，我们可以得到以下公式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)

接下来，我们可以使用等比数列求和公式来简化上式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)
= (4^log(n+1) - 1)/(4-1) （等比数列求和公式）
= (2n-1)

因此，最终结果为 T(n) = 2n - 1。