Hölder inequality

Hölder不等式是数学分析中的一个重要结果，广泛应用于概率论、统计学以及泛函分析等领域。以下是关于Hölder不等式的详细介绍。

### 数学定义

对于$p > 1$ 和其共轭指数$q = \frac{p}{p-1}$ (即$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$)，若$f,g$ 是两个非负的可积函数，则有：

$$\int |fg| d\mu \leqslant (\int |f|^p d\mu)^{\frac{1}{p}}(\int |g|^q d\mu)^{\frac{1}{q}}.$$

当$p=q=2$时，此不等式退化为Cauchy-Schwarz不等式的一种形式。

### 应用场景

1. **积分与级数估计**：用于评估积分或者无穷级数的大小。
2. **L^p空间理论**：在$L^{p}$空间中用来证明各种性质和定理。
3. **傅里叶变换和其他转换**：帮助确定某些转换是否收敛及如何控制误差。
4. **随机过程**：例如，在马尔科夫链和平稳过程中估算期望值。

### 证明方法

一种常见的证明方式依赖于Young's inequality for products:

假设$a,b>0$, 对任意$x,y≥0$ 成立
$$xy ≤ \frac{x^a}{a}+\frac{y^b}{b},$$ 其中 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}=1$.

通过选择适当的$a=p,\ b=q$ 并应用到原不等式两边可以导出Holder’s Inequality.

另一种证明途径涉及Jensen's inequality的应用，特别是考虑到幂平均的概念来构造合适的凸函数来进行证明。