设圆周Lx^2+y^2=1则fL(x+1)^2ds是多少

首先，我们需要确定圆周 L 的参数方程。由于这个圆是以原点为中心的，我们可以使用极坐标表示。设角度为 t，则 x = cos(t)，y = sin(t)，因此参数方程为：

L: (x, y) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π

接下来，我们需要求出 fL(x+1)^2 ds。这里，s 表示圆周 L 上从 t = 0 到 t = 2π 的弧长，而 fL(x+1)^2 表示在圆周 L 上每个点的函数值。

根据弧长的定义，圆周 L 的弧长可以表示为：

s = ∫L ds = ∫0^(2π) ||r'(t)|| dt

其中，||r'(t)|| 表示参数方程 r(t) = (x(t), y(t)) 的导数的模长。对于圆周 L，r(t) = (cos(t), sin(t))，因此 r'(t) = (-sin(t), cos(t))，其模长为 1。因此，s 可以简化为：

s = ∫0^(2π) dt = 2π

接下来，我们需要求出 fL(x+1)^2 ds 的积分。注意到圆周 L 是关于 y 轴对称的，因此我们可以只考虑 x ≥ 0 的部分，然后将结果乘以 2。

当 x ≥ 0 时，有：

x + 1 = cos(t) + 1 = 2cos^2(t/2)

因此，fL(x+1)^2 = [f(2cos^2(t/2))^2]。于是，fL(x+1)^2 ds 的积分可以表示为：

fL(x+1)^2 ds = 2∫0^(π) [f(2cos^2(t/2))^2] ||r'(t)|| dt

由于 ||r'(t)|| = 1，上式可以进一步简化为：

fL(x+1)^2 ds = 2∫0^(π) [f(2cos^2(t/2))^2] dt

综上所述，fL(x+1)^2 ds 的积分为 2∫0^(π) [f(2cos^2(t/2))^2] dt。