对一幅添加了噪声的图像，用高斯滤波器在频率域分别实现一 个平滑和锐化的操作。使用Python代码

首先，我们需要导入一些必要的库：numpy、opencv-python和matplotlib。

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，我们可以加载一张图像并添加一些高斯噪声。

# 加载图像
img = cv2.imread('test.jpg', 0)

# 添加高斯噪声
mean = 0
var = 100
sigma = var ** 0.5
gaussian = np.random.normal(mean, sigma, img.shape)
noisy_img = img + gaussian

接下来，我们可以将这个图像转换为频率域。为了做到这一点，我们可以使用傅里叶变换（`np.fft.fft2`）和将零频率分量移到频率域中心的函数（`np.fft.fftshift`）。

# 傅里叶变换
f = np.fft.fft2(noisy_img)

# 将零频率分量移到频率域中心
fshift = np.fft.fftshift(f)

现在我们可以对频率域图像进行平滑和锐化操作了。对于平滑操作，我们可以使用一个低通滤波器，例如高斯滤波器。对于锐化操作，我们可以使用一个高通滤波器，例如拉普拉斯滤波器。在这里，我们将使用高斯滤波器来做平滑操作，使用拉普拉斯滤波器来做锐化操作。

# 高斯滤波
kernel_size = 5
sigma = 1.5
kernel = cv2.getGaussianKernel(kernel_size, sigma)
kernel = kernel * kernel.T
smoothed_f = np.copy(fshift)
smoothed_f[:, :] = cv2.filter2D(np.real(smoothed_f), -1, kernel) + 1j * cv2.filter2D(np.imag(smoothed_f), -1, kernel)

# 拉普拉斯滤波
laplacian_kernel = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]])
sharpened_f = np.copy(fshift)
sharpened_f[:, :] = cv2.filter2D(np.real(sharpened_f), -1, laplacian_kernel) + 1j * cv2.filter2D(np.imag(sharpened_f), -1, laplacian_kernel)

最后，我们可以将平滑和锐化操作后的频率域图像转换回空间域，并显示它们。

# 将平滑和锐化操作后的频率域图像转换回空间域
smoothed_img = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(smoothed_f))
smoothed_img = np.real(smoothed_img).astype(np.uint8)

sharpened_img = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(sharpened_f))
sharpened_img = np.real(sharpened_img).astype(np.uint8)

# 显示结果
plt.figure(figsize=(10, 8))

plt.subplot(2, 2, 1)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original Image')

plt.subplot(2, 2, 2)
plt.imshow(noisy_img, cmap='gray')
plt.title('Noisy Image')

plt.subplot(2, 2, 3)
plt.imshow(smoothed_img, cmap='gray')
plt.title('Smoothed Image')

plt.subplot(2, 2, 4)
plt.imshow(sharpened_img, cmap='gray')
plt.title('Sharpened Image')

plt.show()

完整的代码如下：

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载图像
img = cv2.imread('test.jpg', 0)

# 添加高斯噪声
mean = 0
var = 100
sigma = var ** 0.5
gaussian = np.random.normal(mean, sigma, img.shape)
noisy_img = img + gaussian

# 傅里叶变换
f = np.fft.fft2(noisy_img)

# 将零频率分量移到频率域中心
fshift = np.fft.fftshift(f)

# 高斯滤波
kernel_size = 5
sigma = 1.5
kernel = cv2.getGaussianKernel(kernel_size, sigma)
kernel = kernel * kernel.T
smoothed_f = np.copy(fshift)
smoothed_f[:, :] = cv2.filter2D(np.real(smoothed_f), -1, kernel) + 1j * cv2.filter2D(np.imag(smoothed_f), -1, kernel)

# 拉普拉斯滤波
laplacian_kernel = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]])
sharpened_f = np.copy(fshift)
sharpened_f[:, :] = cv2.filter2D(np.real(sharpened_f), -1, laplacian_kernel) + 1j * cv2.filter2D(np.imag(sharpened_f), -1, laplacian_kernel)

# 将平滑和锐化操作后的频率域图像转换回空间域
smoothed_img = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(smoothed_f))
smoothed_img = np.real(smoothed_img).astype(np.uint8)

sharpened_img = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(sharpened_f))
sharpened_img = np.real(sharpened_img).astype(np.uint8)

# 显示结果
plt.figure(figsize=(10, 8))

plt.subplot(2, 2, 1)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original Image')

plt.subplot(2, 2, 2)
plt.imshow(noisy_img, cmap='gray')
plt.title('Noisy Image')

plt.subplot(2, 2, 3)
plt.imshow(smoothed_img, cmap='gray')
plt.title('Smoothed Image')

plt.subplot(2, 2, 4)
plt.imshow(sharpened_img, cmap='gray')
plt.title('Sharpened Image')

plt.show()