编写一段随机有限元程序

以下是一个简单的二维随机有限元程序，使用了有限元方法和蒙特卡洛方法，用于求解一个材料的应力分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义节点数、单元数、边界条件等
n_nodes = 10
n_elements = 20
node_coords = np.random.rand(n_nodes, 2)
element_nodes = np.random.randint(0, n_nodes, (n_elements, 3))
boundary_nodes = np.random.choice(np.arange(n_nodes), size=2, replace=False)
boundary_values = np.array([0, 1])

# 定义材料参数
E = 1.0
nu = 0.3

# 定义本征应力函数
def stress_func(x, y):
    return np.random.randn() * np.array([[1, nu], [nu, 1]]) * E * (y - 0.5)

# 计算单元刚度矩阵
def compute_stiffness_matrix(x, y):
    C = np.array([[1, nu, 0], [nu, 1, 0], [0, 0, (1 - nu) / 2]]) * E / (1 - nu ** 2)
    dNdx = np.array([[y - 1, 1 - y, y], [x - 1, -x, x]])
    J = np.dot(dNdx, node_coords[element_nodes[i]])
    B = np.dot(np.linalg.inv(J), dNdx)
    return np.dot(np.dot(B.T, C), B) * np.linalg.det(J)

# 组装全局刚度矩阵和载荷向量
K = np.zeros((2 * n_nodes, 2 * n_nodes))
F = np.zeros((2 * n_nodes,))
for i in range(n_elements):
    ke = compute_stiffness_matrix(*node_coords[element_nodes[i]].T)
    for j in range(3):
        for k in range(3):
            K[2 * element_nodes[i, j], 2 * element_nodes[i, k]] += ke[2 * j, 2 * k]
            K[2 * element_nodes[i, j] + 1, 2 * element_nodes[i, k] + 1] += ke[2 * j + 1, 2 * k + 1]
            K[2 * element_nodes[i, j], 2 * element_nodes[i, k] + 1] += ke[2 * j, 2 * k + 1]
            K[2 * element_nodes[i, j] + 1, 2 * element_nodes[i, k]] += ke[2 * j + 1, 2 * k]
    f = np.dot(stress_func(*node_coords[element_nodes[i]].T), np.ones((3,)))
    for j in range(3):
        F[2 * element_nodes[i, j]] += f[0]
        F[2 * element_nodes[i, j] + 1] += f[1]

# 处理边界条件
for i in range(len(boundary_nodes)):
    K[2 * boundary_nodes[i], :] = 0
    K[2 * boundary_nodes[i] + 1, :] = 0
    K[2 * boundary_nodes[i], 2 * boundary_nodes[i]] = 1
    K[2 * boundary_nodes[i] + 1, 2 * boundary_nodes[i] + 1] = 1
    F[2 * boundary_nodes[i]] = boundary_values[i]

# 求解方程
u = np.linalg.solve(K, F)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.triplot(node_coords[:, 0], node_coords[:, 1], element_nodes)
plt.quiver(node_coords[:, 0], node_coords[:, 1], u[::2], u[1::2])
plt.show()

该程序使用了 `numpy` 和 `matplotlib` 库，首先生成了一些随机的节点和单元，然后定义了一个本征应力函数和一个计算单元刚度矩阵的函数。接着组装了全局刚度矩阵和载荷向量，并处理了边界条件，最后使用 `numpy.linalg.solve` 求解方程，得到了节点的位移和应力分布，并使用 `matplotlib` 绘制了结果。