adaboost算法例题

Adaboost（Adaptive Boosting）是一种集成学习方法，它能够将多个弱分类器结合起来形成一个强分类器。下面我们来看一个简单的Adaboost算法例题。

假设我们有如下的数据集：

| 编号 | 特征1 | 特征2 | 标签 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | -1 |
| 2 | 1 | 4 | -1 |
| 3 | 2 | 1 | -1 |
| 4 | 3 | 4 | 1 |
| 5 | 4 | 2 | 1 |

其中特征1和特征2是两个特征，标签是数据点的类别，-1表示负类，1表示正类。现在我们要使用Adaboost算法训练一个分类器。

首先，我们随机初始化每个样本的权重为$w_i=1/N$，其中$N$是样本数量。然后，我们选择一个弱分类器，假设是一个基于特征1的分类器，它将特征1大于2的样本判为正类，将特征1小于等于2的样本判为负类。我们计算分类器的误差率$\epsilon$：

$$
\epsilon=\frac{\sum_{i=1}^Nw_iI(y_i\neq f(x_i))}{\sum_{i=1}^Nw_i}
$$

其中，$y_i$是第$i$个样本的真实标签，$f(x_i)$是分类器对第$i$个样本的预测标签，$I$是指示函数，当$y_i\neq f(x_i)$时$I$的值为1，否则为0。在这个例子中，分类器将样本1、2、3判为负类，样本4、5判为正类，所以有：

$$
\epsilon=\frac{w_1+w_2+w_3}{w_1+w_2+w_3+w_4+w_5}=\frac{1/5+1/5+1/5}{1/5+1/5+1/5+1/5+1/5}=\frac{3}{5}
$$

接下来，我们计算分类器的权重$\alpha$：

$$
\alpha=\frac{1}{2}\ln{\frac{1-\epsilon}{\epsilon}}
$$

在这个例子中，$\alpha=\frac{1}{2}\ln{\frac{2}{3}}\approx-0.41$。

然后，我们调整每个样本的权重：

$$
w_i=\frac{w_i\exp(-\alpha y_i f(x_i))}{Z}
$$

其中，$Z$是归一化因子，使得$w$仍然满足$\sum_{i=1}^Nw_i=1$。在这个例子中，$y_1=y_2=y_3=-1$，$y_4=y_5=1$，$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=-1$，$f(x_4)=f(x_5)=1$，所以有：

$$
w_1=w_2=w_3=\frac{1/5\cdot\exp(-(-0.41)\cdot(-1)\cdot(-1))}{Z}\approx0.14
$$

$$
w_4=w_5=\frac{1/5\cdot\exp(-(-0.41)\cdot1\cdot1)}{Z}\approx0.22
$$

最后，我们得到了第一个弱分类器和它的权重。我们可以用这个分类器对数据集进行分类，然后再选择一个新的弱分类器，计算它的权重，调整样本的权重，然后再用新的分类器对数据集进行分类。重复这个过程，直到得到一个强分类器，或者达到事先设定的迭代次数。

以上就是一个简单的Adaboost算法例题。