3次B样条插值反求控制点的公式

给定一组数据点$(x_i,y_i)$，我们可以使用B样条插值方法来构造一条平滑曲线，使得这条曲线经过数据点，并且在相邻数据点之间呈现出连续的曲率。B样条插值的关键是找到一组控制点$(c_0,c_1,\cdots,c_{n+1})$，使得插值曲线可以表示为：

$$
y(x)=\sum_{i=0}^{n+1}N_i(x)c_i
$$

其中，$N_i(x)$是B样条基函数。B样条基函数可以通过递归计算得到，其定义如下：

$$
N_i^0(x) = \begin{cases}
1, & x_i \leq x < x_{i+1}\\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

$$
N_i^k(x) = \frac{x-x_i}{x_{i+k}-x_i}N_i^{k-1}(x) + \frac{x_{i+k+1}-x}{x_{i+k+1}-x_{i+1}}N_{i+1}^{k-1}(x)
$$

其中，$k$是B样条的阶数，通常取3（也就是三次B样条插值）。

我们可以将每个控制点用一个向量表示，即$c_i=(x_i,y_i)$。为了反求控制点，我们需要先求出每个基函数在插值点$x$处的值$N_i(x)$，然后通过线性方程组求解得到控制点。具体来讲，我们可以构造以下线性方程组：

$$
\begin{bmatrix}
1 & N_0(x_1) & N_1(x_1) & \cdots & N_n(x_1) & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & N_0(x_2) & N_1(x_2) & \cdots & N_n(x_2) & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & N_0(x_n) & N_1(x_n) & N_2(x_n) & \cdots & N_{n+1}(x_n)\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0 & -2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_0\\
c_1\\
\vdots\\
c_{n+1}\\
m_0\\
m_1\\
\vdots\\
m_{n+1}\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n\\
0\\
0\\
\vdots\\
0\\
\end{bmatrix}
$$

其中，$m_i$是每个控制点处的一阶导数，用于保证插值曲线在控制点处的切线方向。这个方程组可以使用高斯消元法或LU分解法求解，得到控制点$(c_0,c_1,\cdots,c_{n+1})$和一阶导数$(m_0,m_1,\cdots,m_{n+1})$的值。