2.一个车间内有10台相同的车床，每台车床运行时每小时创造40元的利润，且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元，试求： （1）该车间应设多少名修理工，使总费用最小？ （2）若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设多少名修理工？ （3）若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工？

首先，我们可以将该问题建模为一个排队论模型。车床可以看作为顾客，而修理工则可以看作为服务员。每个顾客需要服务的时间服从指数分布，服务员的服务能力也服从指数分布。我们可以使用M/M/c排队论模型来解决这个问题。

（1）要使总费用最小，需要平衡修理工的人数和车床的利润。设车间需要n名修理工，根据M/M/c排队论模型的公式，我们可以计算出：系统的平均顾客数L = λ^2/(c(μ-λ))，其中λ为顾客到达率，μ为服务员的服务率，c为服务员的数量。车床每小时损坏一次，因此到达率λ = 1/小时，每位修理工每小时可以修复1/4台车床，因此服务率μ = 4/小时。代入公式得到L = 2.5n。

车床每小时创造的利润为40元，因此每名修理工每小时需要创造40/60 = 2/3元的利润来平衡开销。每名修理工每小时的成本为60元，因此总费用为C = 60n + (2/3)L。

将L代入C中，得到C = 60n + (2/3)(2.5n) = 70n/3。对C求导，得到dC/dn = 70/3，因此当n = 3.33时，C取最小值。因为修理工人数必须为整数，所以应该设4名修理工。

（2）要求不能运转的车床的期望数小于4台，我们需要计算出系统中等待修理的车床数。根据M/M/c排队论模型的公式，系统中等待修理的车床数Lq = λ^2/(c(μ-λ)(μ-λ/c))。代入λ = 1/小时，μ = 4/小时，c = 4，得到Lq = 1/6。因此，要使不能运转的车床的期望数小于4台，有Lq < 4，即1/6 < 4，所以满足条件。因为车床的数量为10，因此系统中等待修理的车床数Lq = L-ρ，其中L为系统的平均顾客数，ρ为系统繁忙率，即ρ = λ/(cμ)。因此Lq = L-ρ = λ^2/(c(μ-λ)) - λ/(cμ) = (λ/μ)^2(cρ^2+ρ)/(1-ρ)，代入λ = 1/小时，μ = 4/小时，c = n，得到Lq = (n/6)(n^2/16 + n/4)/(1 - n/4)。令Lq < 4，解得n > 5.57，因此需要至少6名修理工。

（3）要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，我们需要计算出系统中等待修理的车床的平均时间。根据M/M/c排队论模型的公式，系统中等待修理的车床的平均时间Wq = Lq/λ。代入λ = 1/小时，n = 4，得到Wq = (4/3)(1/16) = 1/12。因此，要使损坏机器等待修理的时间少于4小时，有Wq < 4，即1/12 < 4，所以满足条件。