matlab周期函数傅里叶级数展开

### Matlab 中周期函数的傅里叶级数展开方法

在 MATLAB 中可以利用内置工具箱和自定义脚本来完成周期函数的傅里叶级数展开。对于给定的周期函数 \( f(x) = x \cdot (x-\pi) \cdot (x-2\pi) \)，其在一个特定区间内的表达形式可以通过符号计算来求解傅里叶系数并绘制近似曲线。

#### 使用 Symbolic Math Toolbox 进行傅里叶分析

MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox 提供了强大的功能来进行解析运算，包括求导、积分以及处理傅里叶变换等问题。下面是一个具体的例子说明如何针对上述提到的具体多项式执行傅里叶级数展开：

% 定义变量与目标函数
syms x k;
fx = x * (x - pi) * (x - 2*pi);

% 计算傅立叶系数 a_n 和 b_n
a0 = simplify(int(fx, x, 0, 2*pi)/(2*pi));
an = simplify(int(fx*cos(k*x), x, 0, 2*pi)/pi);
bn = simplify(int(fx*sin(k*x), x, 0, 2*pi)/pi);

disp(['a_0:', char(a0)]);
disp('a_n:');
pretty(an)
disp('b_n:');
pretty(bn)

% 构建有限项傅立叶级数逼近原函数
N = 10; % 取前 N 个谐波分量
F_approx = a0/2 + sum(subs(an*cos(k*x)+bn*sin(k*x), 'k', 1:N));

figure();
fplot(fx,[0 2*pi],'r','LineWidth',2); hold on;
ezplot(F_approx,[0 2*pi]); legend('Original Function','Fourier Series Approximation');
title('Comparison between Original and Fourier Series Expansion')
xlabel('x'); ylabel('y=f(x)');
grid minor;
hold off;

这段代码首先定义了一个符号化的输入函数 `fx` ，接着通过数值积分数值化地获取了该函数对应的傅里叶系数 \(a_0\) ,\(a_n\) 和 \(b_n\) 。最后构建了一组由这些系数组成的傅里叶级数，并将其可视化以便观察原始函数与其傅里叶级数表示之间的差异[^1]。

#### 数学原理补充

值得注意的是，在实际应用中，当涉及到奇偶性和对称性的考虑时，某些类型的周期信号可能会简化成仅含正弦或余弦成分的形式。例如，方波可以用无穷级数中的纯正弦波叠加而成，如下所示：
\[ f(t) \sim \frac{8A_{max}}{\pi^2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{{(-1)}^{n-1}\sin((2n-1)\omega t)}{(2n-1)^2}, \quad n=1,2,3,\ldots \]

这里展示的就是一个典型的半波整流后的锯齿波形的傅里叶级数表达方式[^2]。