如果h(n)是实数序列,证明H*(e^jω)=H(e^-jω）

这是一个关于离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质。我们有如下的定义：

$$ H(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n} $$

其中，$h(n)$ 是一个实数序列。我们要证明的是：

$$ H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega}) $$

首先，让我们展开 $H^*(e^{j\omega})$，得到：

$$
\begin{aligned}
H^*(e^{j\omega}) &= \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n}\right)^* \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (h(n) e^{-j\omega n})^* \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} \\
\end{aligned}
$$

其中，我们用到了 $(ab)^* = a^* b^*$ 的性质。

接下来，我们要证明的是 $H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega})$，即：

$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n}
$$

我们可以将 $n$ 替换为 $-n$，从而得到：

$$
\begin{aligned}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n} &= \sum_{-n=-\infty}^{\infty} h(-n) e^{j\omega (-n)} \\
&= \sum_{n=\infty}^{-\infty} h(n) e^{j\omega n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} \\
\end{aligned}
$$

其中，我们用到了 $h(-n) = h(n)$ 的性质。

将上面两个公式代入原式，我们可以得到：

$$ H^*(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} = H(e^{-j\omega}) $$

因此，我们证明了 $H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega})$。

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