Primal-Dual非线性求解

Primal-Dual方法是一种用于求解非线性规划问题的技术，特别是在处理对偶问题时非常有用。它结合了原始问题（Primal）和对偶问题（Dual）的信息，通过迭代求解来同时优化原始问题的目标函数和约束条件。Primal-Dual方法通常用于求解线性规划问题，但也可以通过一定的修改应用于非线性问题。

在非线性Primal-Dual方法中，原始问题通常定义为最大化或最小化某个非线性目标函数，同时满足一系列非线性约束。对偶问题则是对原始问题的目标函数进行转化，并引入拉格朗日乘数（Lagrange multipliers）来处理约束。通过构建拉格朗日函数，Primal-Dual方法可以将原始问题和对偶问题关联起来。

在实际的迭代过程中，Primal-Dual算法会交替更新原始变量和对偶变量，以寻找问题的最优解。这种方法的一个重要优点是能够处理一些只有对偶问题容易求解的情况，即“对偶性良好”的问题。

Primal-Dual方法的实现通常涉及以下步骤：
1. 定义原始问题和对偶问题。
2. 建立拉格朗日函数，引入拉格朗日乘数。
3. 交替进行原始问题和对偶问题的优化过程，通过选择适当的步长和更新规则来改进解。
4. 检查收敛性，即原始问题和对偶问题的目标函数值是否接近，以及拉格朗日乘数是否满足一定的条件。

相关问题

From Proposition 1, we plug ri,O = li(μ)τi into (39) and rewrite problem (38) as maximize ri,O 􏰗ai − μ li (μ) − Yi(t)g [li(μ)]􏰘 ri,O li (μ)hi (41a) March 2, 2021 DRAFT maximize ˆr O subject to 0 ≤ ri,O ≤ Qi(t), (41b) 0, ifa − μ −Y(t)g[li(μ)] <0, subject to where the optimal solution is r∗ i,O Accordingly, we have τ∗ = r∗ ii,Oi i1 of μ in (32) as 1−􏰀i∈M1 τi∗. Then, we obtain the optimal dual variable μ∗ through the ellipsoid method (bi-section search in this case) over the range [0,∆], where ∆ is a sufficiently large value, until a prescribed precision requirement is met. Given the optimal μ∗, we denote the optimal ratio obtained from (40) as li (μ∗) 􏰝 r∗ /τ∗, i,O i ∀i ∈ M1. Notice that the optimal solution 􏰕τi∗, r∗ , ∀i ∈ M1􏰖 of the dual problem may not be i,O primal feasible. Therefore, to find a primal optimal solution to (31), we substitute τi = ri,O/li (μ∗) into (31) and simplify the problem as = i li(μ) i li(μ)hi (42) otherwise. Qi (t), /l (μ). After obtaining τ∗, ∀i ∈ M , we calculate the subgradient 􏰁 􏰗ai − Yi(t)g [li(μ∗)]􏰘 ri,O (43a) i ∈ M 1 h i l i ( μ ∗ ) 􏰁 ri,O ≤ 1, ri,O ≤ Qi(t), ∀i ∈ M1. (43b) i∈M1 li(μ∗) The above problem is a simple linear programming (LP) that can be easily solved. With a bit abuse of notation, we denote the optimal solution of (43) as ˆr∗ = 􏰕r∗ , ∀i ∈ M 􏰖 and retrieve 20 the optimal solution to (31) as τ∗=r∗ /l(μ∗),e∗ =τi∗g[li(μ∗)],∀i∈M. (44) i i,O i i,O hili(μ∗) 1 Denote τˆ∗ = {τi∗,∀i ∈ M1} and ˆe∗O = 􏰕e∗i,O,∀i ∈ M1􏰖. As {τˆ∗,ˆe∗O,ˆr∗O,μ∗} satisfies the KKT conditions, {τˆ∗,ˆe∗O,ˆr∗O} is an optimal solution to (31). By combining the optimal solutions in (30) and (44), we obtain an optimal solution of (P4). We summarize the pseudo-code of the O i,O 1 algorithm to solve (P4) in Algorithm 2.,翻译并解释li和hi是什么

在这段文字中，li和hi分别代表优化问题中的变量。li是一个非负数，它表示第i个用户在当前时刻能够分配的最大带宽。hi是一个非负数，它表示第i个用户的利润，即用户在当前时刻通过分配带宽所能获得的收益。

在算法中，我们需要通过求解一个线性规划问题来确定每个用户在当前时刻的最优带宽分配。通过计算每个用户的利润和最大可分配带宽，我们可以获得线性规划问题的约束条件。然后，我们采用一种叫做椭球法的优化算法来解决对偶问题，并计算出对应的最优解。最后，通过将最优解代入原问题中，我们可以得到每个用户在当前时刻的最优带宽分配方案。

OSQP如何处理包含负定或奇异矩阵的二次规划问题，并确保求解过程的鲁棒性？

针对包含负定或奇异矩阵的二次规划问题，OSQP求解器利用其基于交替方向乘子法（ADMM）的算法，能够有效保障求解的鲁棒性。OSQP采用的运算符分解技术允许在每次迭代中处理一个近似的线性系统，即使在这个系统中系数矩阵奇异或负定，算法也能通过适当的初始化和迭代策略来确保优化过程的稳定性。

参考资源链接：[OSQP：一种基于交替方向乘子法的泛化凸二次规划求解器](https://wenku.csdn.net/doc/22v5f6krys?spm=1055.2569.3001.10343)

在算法的迭代过程中，OSQP会尝试求解一个近似的线性系统，而这个系统通常由一个正定矩阵和一个对角矩阵的加和构成，这有助于处理问题中可能出现的负定性。当系统矩阵奇异时，OSQP能够通过重新缩放来避免数值问题，并利用冷启动或热启动策略来初始化参数，确保算法能够继续迭代求解。

另外，OSQP具备原始问题的primal/dual infeasibility检测功能，这意味着它能够检测到问题中存在的不一致性和矛盾，并相应地调整迭代过程。这种检测能力是基于对线性系统的特定性质的分析，允许算法在必要时进行适当的调整，从而保持求解过程的稳定性和鲁棒性。

总的来说，OSQP通过结合交替方向乘子法的鲁棒性和对线性系统的精细处理，确保了即使面对非标准问题，如负定或奇异矩阵问题时，仍然能够提供稳定且可靠的求解结果。对于寻求高效稳定解决二次规划问题的工程师或研究人员来说，OSQP提供了一个极为有力的工具。

参考资源链接：[OSQP：一种基于交替方向乘子法的泛化凸二次规划求解器](https://wenku.csdn.net/doc/22v5f6krys?spm=1055.2569.3001.10343)