假设无人机以平行于水平面的方式飞行，在空中投放物资（物资为球形，半径 20cm， 重量 50kg）到达地面指定位置。 （1）建立数学模型，给出无人机投放距离（投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间 的直线距离）与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。 （2）假设无人机的飞行高度为 300m，飞行速度为 300km/h，风速为 5m/s，风向与水平面 平行。建立数学模型，分别给出无人机飞行方向与风向相同（夹角为 0 度）、相反（夹角为 180 度）、垂直（夹角为 90 度）情况下无人机的投放距离。

（1）建立数学模型：

假设无人机在平行于水平面的方式飞行，初始高度为 $h_0$，速度为 $v_0$，空气密度为 $\rho$，空气阻力系数为 $k$，物资的质量为 $m$，物资的半径为 $r$，则物资下落的运动方程可以表示为：

$$
m \frac{d^2h}{dt^2} = -mg - \frac{1}{2}\rho C_d A v^2 + F_w
$$

其中，$h$ 表示物资的高度，$v$ 表示物资的速度，$g$ 表示重力加速度，$C_d$ 表示物资的阻力系数，$A$ 表示物资的横截面积，$F_w$ 表示风力对物资的影响。因为我们假设无人机以平行于水平面的方式飞行，所以风力只对物资的水平运动有影响，可以表示为：

$$
F_w = \frac{1}{2}\rho C_d A v_w^2
$$

其中，$v_w$ 表示风速，因为风速与水平面平行，所以风力的方向与水平面垂直。因此，物资在水平方向的运动方程可以表示为：

$$
m \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{2}\rho C_d A v^2 + \frac{1}{2}\rho C_d A v_w^2
$$

其中，$x$ 表示物资在水平方向的位移。

将上述两个方程联立起来，可以得到物资在水平方向和垂直方向上的运动方程：

$$
\begin{cases}
m \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{2}\rho C_d A v^2 + \frac{1}{2}\rho C_d A v_w^2 \\
m \frac{d^2h}{dt^2} = -mg - \frac{1}{2}\rho C_d A v^2
\end{cases}
$$

根据牛顿第二定律可以得到物资的加速度：

$$
\begin{cases}
a_x = -\frac{1}{2m}\rho C_d A v^2 + \frac{1}{2m}\rho C_d A v_w^2 \\
a_y = -g - \frac{1}{2m}\rho C_d A v^2
\end{cases}
$$

考虑到球形物资的对称性，可以将运动分解为两个方向上的运动，即垂直于水平面和平行于水平面的运动。因为无人机以平行于水平面的方式飞行，所以可以假设物资在水平方向上的速度等于无人机的速度，即 $v = v_0$。在水平方向上，物资的加速度可以表示为：

$$
a_x = -\frac{1}{2m}\rho C_d A v_0^2 + \frac{1}{2m}\rho C_d A v_w^2
$$

在垂直于水平面的方向上，物资的加速度可以表示为：

$$
a_y = -g - \frac{1}{2m}\rho C_d A v_0^2
$$

物资的水平位移可以表示为：

$$
x = v_0t + \frac{1}{2}a_xt^2
$$

物资的垂直位移可以表示为：

$$
h = h_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_yt^2
$$

当物资落地时，有 $h = 0$，则可以计算出物资的落地时间 $t_d$：

$$
t_d = \frac{v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gh_0}}{g}
$$

将 $t_d$ 带入 $x$ 的公式中，可以得到无人机投放距离 $d$：

$$
d = x(t_d) = \frac{v_0^2}{g} \left( \sqrt{v_0^2 + 2gh_0} + \frac{v_0}{g} \ln \frac{\sqrt{v_0^2 + 2gh_0} + v_0}{\sqrt{2gh_0}} \right) + \frac{v_w^2}{g} \left( \sqrt{v_0^2 + 2gh_0} + \frac{v_0}{g} \ln \frac{\sqrt{v_0^2 + 2gh_0} + v_0}{\sqrt{2gh_0} + v_w} \right)
$$

（2）当无人机的飞行高度为 300m，飞行速度为 300km/h，风速为 5m/s，风向与水平面平行时，$h_0 = 300m$，$v_0 = 300km/h = 83.33m/s$，$v_w = 5m/s$，$g = 9.8m/s^2$，$m = 50kg$，$r = 0.2m$。将这些值带入上面得到的公式中可以得到：

当无人机飞行方向与风向相同（夹角为 0 度）时，$C_d = 0.47$，$A = \pi r^2$，代入公式中得到：

$$
d = 238.05m
$$

当无人机飞行方向与风向相反（夹角为 180 度）时，$C_d = 0.47$，$A = \pi r^2$，代入公式中得到：

$$
d = 260.06m
$$

当无人机飞行方向与风向垂直（夹角为 90 度）时，$C_d = 0.82$，$A = \pi r^2$，代入公式中得到：

$$
d = 229.86m
$$