矩阵A和B相似，和他们两个的逆矩阵相似是等价的吗

是的，如果矩阵A和B相似，那么它们的逆矩阵也相似。这可以通过以下步骤证明：

首先，由于矩阵A和B相似，存在一个非奇异矩阵P，使得A = PBP^-1。

接下来，考虑A和B的逆矩阵。由于A和B都是非奇异矩阵，它们的逆矩阵也存在，分别为A^-1和B^-1。

我们需要证明的是，存在一个非奇异矩阵Q，使得A^-1 = QBQ^-1。

我们可以通过以下步骤构造这个矩阵Q：

1. Q = P^-1，即Q是P的逆矩阵。

2. 首先证明Q是非奇异矩阵。由于P是非奇异矩阵，所以它的逆矩阵P^-1存在。因此，Q = P^-1也是非奇异矩阵。

3. 接下来证明A^-1 = QBQ^-1。根据矩阵乘法的结合律和逆矩阵的定义，我们有：

A^-1 = (PBP^-1)^-1
= (P^-1)^-1 B^-1 P^-1^-1
= PBP^-1
= A

QBQ^-1 = P^-1BPBP^-1(P^-1)^-1
= P^-1BPBP^-1P
= P^-1AP
= A^-1

因此，我们证明了如果矩阵A和B相似，那么它们的逆矩阵也相似。