pytorch PINN 求解抛物方程 u_t - u_xx = f, 0初值 0边界条件， 代码

PyTorch中的物理-informed神经网络（PINN）是一种结合了深度学习和偏微分方程求解技术的方法。对于给定的抛物方程 \(u_t - u_{xx} = f\)，其中\(f\)是一个已知的函数，初始条件 \(u(x, 0) = 0\)，以及边界条件（例如， Dirichlet 或 Neumann 边界条件），我们可以构建一个简单的PINN模型来训练。

以下是一个简化的代码示例，演示如何使用PyTorch创建一个基本的PINN来解决这个问题：

import torch
from torch import nn

class PhysicsInformedNN(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, hidden_size=32):
        super(PhysicsInformedNN, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_size, hidden_size)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_size, 1)

    def forward(self, x):
        # 这里x应该包含时间t和空间坐标x
        t, x = x[:, 0], x[:, 1:]
        u = torch.tanh(self.fc1(torch.cat((t, x), dim=-1)))   # 使用tanh激活函数
        u_t = torch.autograd.grad(outputs=u.sum(), inputs=x, create_graph=True)[0][:, 0]  # 计算u关于x的导数
        u_xx = torch.autograd.grad(outputs=torch.autograd.grad(outputs=u.sum(), inputs=x, create_graph=True)[0].sum(), inputs=x, create_graph=True)[0][:, 1:]  # 计算u_xx
        return u, u_t, u_xx

model = PhysicsInformedNN(input_size=2)  # 输入大小为(t, x)
# 假设loss_func为损失函数，如MSELoss()
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 定义训练循环
def train_step(u_pred, t, x, f):
    u, u_t, u_xx = model(torch.cat([t.unsqueeze(-1), x], dim=-1))
    data_loss = loss_func(u_pred, u)  # 如果f已知，可以用f替换u_pred
    eqn_loss = loss_func(u_t + u_xx - f, torch.zeros_like(u))  # 方程误差
    total_loss = data_loss + eqn_loss
    optimizer.zero_grad()
    total_loss.backward()
    optimizer.step()
    return total_loss.item()

# 使用随机数据初始化并训练
t_train, x_train = torch.rand(size=(batch_size, 1)), torch.rand(size=(batch_size, input_size-1))  # 假设batch_size为所需样本数量
u_true = ...  # 获取真实解作为目标值
for _ in range(num_epochs):  # num_epochs是训练次数
    loss = train_step(u_true, t_train, x_train, f_train)
    print(f"Epoch {_:>4}/{num_epochs}: Loss = {loss}")

注意，这只是一个基础示例，并未包含完整的训练过程和损失函数的选择。实际应用中可能需要调整网络结构、优化器设置、损失函数计算等细节，以及添加合适的正则化以提高模型性能。同时，真实的训练数据和边界条件需要根据具体问题提供。