python利用“牛顿迭代法”求出1~n之间的所有整数的算数平方根，精确到1e-10

在Python中，我们可以使用牛顿迭代法（也称为牛顿-拉夫森方法）来近似计算任意正数的算术平方根。这个算法基于这样一个事实：对于任意正实数x，其平方根满足f(x) = x - f(x)^2 = 0。我们从一个初始猜测值开始，通过不断逼近这个方程的解来得到更准确的结果。

以下是使用Python实现牛顿迭代法求解1到n之间所有整数的算术平方根的步骤：

def sqrt_newton(n, epsilon=1e-10):
    def newton_sqrt(guess, n):
        return guess if abs(guess * guess - n) < epsilon else newton_sqrt((guess + n / guess) / 2, n)

    for i in range(1, n+1):
        root = newton_sqrt(i)
        print(f"√{i} ≈ {root:.15f}")

# 调用函数，开始计算
sqrt_newton(100)

在这个例子中，`epsilon`是一个阈值，用于确定何时停止迭代，因为我们通常认为当估计值的平方与实际数值之差小于指定精度时，结果已经足够接近真实值了。

相关问题

python编写利用“牛顿迭代法”求出1~n之间的所有整数的算术平方根，并与math库中sqrt0函数的结果进行比较。

在Python中，我们可以使用牛顿迭代法（Newton's Method）来近似计算一个正实数的平方根。这是一种迭代算法，对于任意一个非负实数a，我们从一个初始猜测x0开始，然后通过不断逼近公式`x_{n+1} = (x_n + a / x_n) / 2`来逐步接近其真实平方根。

下面是一个简单的示例，用于计算1到n之间的所有整数的平方根并与`math.sqrt()`函数的结果进行比较：

import math

def newton_sqrt(n, x0=1, epsilon=1e-6):
    while abs(x0 - n / x0) > epsilon:
        x0 = (x0 + n / x0) / 2
    return round(x0)

# 计算并比较
for i in range(1, n + 1):
    approx_root = newton_sqrt(i)
    exact_root = int(math.sqrt(i))
    print(f"Approximate root of {i}: {approx_root}, Exact root from math.sqrt: {exact_root}, Difference: {abs(approx_root - exact_root)}")

利用牛顿迭代法求整数算数平方根，python

利用牛顿迭代法求解整数的算术平方根是一个常用数学技巧，它基于牛顿-拉弗森方法，一种用于逼近方程根的迭代算法。对于求整数的算术平方根，我们通常需要找到满足 \(x^2 = n\) 的 \(x\)。

牛顿迭代法的基本思想是在已知某一点附近函数近似的情况下，通过不断地更新这个点来逼近函数的实际根。对于求平方根，我们的目标函数是 \(f(x) = x^2 - n\)，其中 \(n\) 是给定的正整数。我们需要找到使得 \(f(x) = 0\) 的 \(x\) 的值。

### 步骤描述：

1. **选择初始猜测** (\(x_0\))：可以选择 \(n\) 自身作为初始猜测，因为对于大多数情况而言，这会给出一个比较接近实际平方根的起始点。

2. **迭代公式**：迭代步骤可以通过下面的公式完成：
\[
x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
\]
对于平方根计算，这意味着：
\[
x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2 - n}{2x_k}
\]
这简化为：
\[
x_{k+1} = \frac{x_k + \frac{n}{x_k}}{2}
\]

3. **终止条件**：当两次连续的迭代结果之差小于预设的精度阈值时，停止迭代，将最后一次迭代的结果视为最终的平方根估计。

### Python 实现：

def newton_sqrt(n, tolerance=1e-10):
    if n < 0:
        raise ValueError("Cannot compute the square root of a negative number.")
    
    # 初始猜测可以取 n 或者设置为 1 如果不知道从哪里开始
    x_k = n
    
    while True:
        next_x = (x_k + n / x_k) / 2
        if abs(next_x - x_k) < tolerance:
            return next_x
        x_k = next_x

# 示例：求 16 的平方根
result = newton_sqrt(16)
print(f"Square root of 16 is approximately {result}")

上述代码段实现了牛顿迭代法来计算任意正整数的算术平方根，并提供了一个简单的错误处理机制来防止对负数的处理。您可以调整 `tolerance` 参数以达到所需的精确度级别。此外，这个函数也可以轻松地应用于浮点数的情况，只需稍作修改即可处理非整数值。

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