请Python编写程序,观察递推式I(k)=(1/n- I(k-1))/5的数值稳定性,其中n是用户输入的参数,递推式的初值I(0)=0.128329。
时间: 2024-05-13 11:15:47 浏览: 16
以下是Python程序:
```python
n = int(input("请输入参数n:"))
I = 0.128329 # 初值
for k in range(1, 100): # 迭代100次
I_new = (1/n - I)/5 # 递推式
print("I({})={}".format(k, I_new))
if abs(I_new - I) < 1e-8: # 判断数值是否稳定
print("数值稳定")
break
I = I_new
```
程序首先读入参数n和初值I(0),然后进行100次递推并打印出每次的结果。在每次递推后,程序判断新的值与旧的值之间的差是否小于一个很小的数(1e-8),如果是,则认为数值已经稳定,程序结束。如果递推100次还没有稳定,程序也会结束。
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```python
def fun(t):
a, b = 1, 1
while a <= t:
a, b = b, a + b
return a
```
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```python
import numpy as np
def romberg_integration(f, a, b, n):
R = np.zeros((n, n))
h = b - a
R[0, 0] = 0.5 * h * (f(a) + f(b))
for i in range(1, n):
h = 0.5 * h
sum = 0
for k in range(1, 2 ** i, 2):
x = a + k * h
sum += f(x)
R[i, 0] = 0.5 * R[i-1, 0] + sum * h
for j in range(1, i+1):
R[i, j] = (4 ** j * R[i, j-1] - R[i-1, j-1]) / (4 ** j - 1)
return R[n-1, n-1]
```
其中 `f` 是被积函数,`a` 和 `b` 是积分区间的上下限,`n` 代表递推的迭代次数,一般取 4-6 左右即可。使用演示如下:
```python
>>> def f(x):
... return np.exp(-x**2)
...
>>> romberg_integration(f, 0, 2, 4)
0.8820823306633291
```
这里我们计算了一个经典的高斯积分,答案为 $\sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} ({\rm erf}(2) - {\rm erf}(0))$,与 Romberg 积分得到的结果基本一致。
希望能对您有所帮助!