基于卡尔曼滤波的SPRT检测算法化简

假设我们有一组观测数据 $y_1, y_2, \cdots, y_n$，其中每个 $y_i$ 都是由一个未知的常数 $x$ 与一个随机噪声 $v_i$ 组成的，即 $y_i = x + v_i$。我们希望检测 $x$ 是否超过了一个给定的阈值 $T$，即 $H_0: x \leq T$ vs. $H_1: x > T$。为了达到这个目的，我们可以使用基于卡尔曼滤波的序贯概率比检验（Sequential Probability Ratio Test，SPRT）算法。

首先，我们需要建立一个卡尔曼滤波模型，用于预测 $x$ 的值，并估计 $x$ 与观测数据 $y_i$ 之间的关系。假设我们已经得到了一个初始状态 $x_0$ 的先验分布 $p(x_0)$ 和一个状态转移矩阵 $F$，则在时刻 $k$，我们可以通过以下公式进行状态预测和更新：

预测：
$$
\hat{x}_k^- = F\hat{x}_{k-1} \\
P_k^- = F P_{k-1} F^T + Q
$$

更新：
$$
K_k = P_k^- H^T (H P_k^- H^T + R)^{-1} \\
\hat{x}_k = \hat{x}_k^- + K_k (y_k - H \hat{x}_k^-) \\
P_k = (I - K_k H) P_k^-
$$

其中，$\hat{x}_k^-$ 和 $P_k^-$ 分别表示对 $x_k$ 的先验预测和协方差矩阵；$\hat{x}_k$ 和 $P_k$ 分别表示对 $x_k$ 的后验估计和协方差矩阵；$K_k$ 表示卡尔曼增益；$H$ 表示观测矩阵；$Q$ 和 $R$ 分别表示过程噪声和观测噪声的协方差矩阵。

接下来，我们需要使用 SPRT 算法来检测 $x$ 是否超过了阈值 $T$。SPRT 算法基于一个序贯概率比检验统计量 $L_n$，它被定义为：

$$
L_n = \frac{p(y_1, y_2, \cdots, y_n | x > T)}{p(y_1, y_2, \cdots, y_n | x \leq T)}
$$

其中，$p(y_1, y_2, \cdots, y_n | x > T)$ 和 $p(y_1, y_2, \cdots, y_n | x \leq T)$ 分别表示给定观测数据的条件下，$x > T$ 和 $x \leq T$ 的后验概率密度函数。

SPRT 算法的目标是根据当前的观测数据，逐步更新 $L_n$ 的值，并根据 $L_n$ 是否超过一定的阈值来判断 $x$ 是否超过了阈值 $T$。具体来说，SPRT 算法的流程如下：

1. 初始化 $L_0 = 1$ 和 $n = 0$。
2. 对于每个新的观测数据 $y_{n+1}$，根据卡尔曼滤波模型更新 $x_{n+1}$ 的后验估计 $\hat{x}_{n+1}$ 和协方差矩阵 $P_{n+1}$。
3. 计算 $L_{n+1} = L_n \frac{p(y_{n+1} | \hat{x}_{n+1} > T)}{p(y_{n+1} | \hat{x}_{n+1} \leq T)}$，其中 $p(y_{n+1} | \hat{x}_{n+1} > T)$ 和 $p(y_{n+1} | \hat{x}_{n+1} \leq T)$ 分别表示给定 $\hat{x}_{n+1}$ 的条件下，$y_{n+1}$ 在 $x > T$ 和 $x \leq T$ 的情况下的概率密度函数。
4. 如果 $L_{n+1} > B$，则拒绝 $H_0$，接受 $H_1$；如果 $L_{n+1} < A$，则拒绝 $H_1$，接受 $H_0$；否则，继续观测数据。
5. 如果没有达到拒绝或接受的条件，返回第 2 步。

其中，$A$ 和 $B$ 分别表示拒绝 $H_0$ 和拒绝 $H_1$ 的阈值。可以通过一定的数值计算方法来确定 $A$ 和 $B$ 的取值，常见的方法有 Wald 方法、Likelihood Ratio 方法和 Chernoff Bound 方法等。