给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100),价值为vi(vi<=100),背包的容量为C(C<=1000)。 应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有两个选择:装入或不装入。不能将物品i装入多次,也不能只装入部分物品i,用java代码解决
时间: 2023-03-14 08:59:57 浏览: 105
这是一个典型的01背包问题。
解决这个问题的常用方法是使用动态规划。
我们可以使用一个二维数组 $dp[i][j]$ 来表示,在前 $i$ 种物品中选择若干个物品,使得它们的总重量不超过 $j$ 时,所能达到的最大价值。
状态转移方程如下:
$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)$
代码如下:
```java
int n = 100; // 物品的数量
int C = 1000; // 背包的容量
int[] w = new int[n+1]; // 物品的重量
int[] v = new int[n+1]; // 物品的价值
int[][] dp = new int[n+1][C+1];
// 动态规划
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= C; j++) {
if (j < w[i]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
}
// 输出最大价值
System.out.println(dp[n][C]);
```
注意:在实际实现中,可以使用一维数组滚动更新,从而将空间复杂度降低至 $O(C)$。
相关问题
给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100),价值为vi(vi<=100),背包的容量为c(c<=1000)。\n应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最
### 回答1:
题目描述:给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100),价值是vi(vi<=100),背包的容量为c(c<=1000)。选择装入背包中的物品,要求装入的物品不能超过背包容量,使得装入的物品的总价值最大。
解题思路:01背包问题,使用动态规划算法。先定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。则状态转移方程如下:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)
其中,dp[i-1][j]表示不放i物品的最大价值,dp[i-1][j-wi] + vi表示放i物品的最大价值。
最终结果为dp[n][c],即前n个物品放入容量为c的背包中的最大价值。
代码实现:
n, c = map(int, input().split())
w = [0] * (n+1) # 重量
v = [0] * (n+1) # 价值
for i in range(1, n+1):
wi, vi = map(int, input().split())
w[i], v[i] = wi, vi
dp = [[0] * (c+1) for _ in range(n+1)] # 初始化dp数组
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, c+1):
if j < w[i]: # 背包容量小于物品重量,无法放入
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else: # 可以选择放或不放,取最大价值
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
print(dp[n][c])
### 回答2:
对于背包问题,本质上就是要通过贪心或动态规划的方法,选择尽可能多的物品放到背包中,来达到最大价值。
一、贪心算法
贪心算法是一种基于贪心选择性质的策略,即在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择,从而希望最后获得的全局最优解。
对于背包问题,我们可以按照单位重量的价值(vi/wi)从大到小排序,然后依次将价值较高的物品放入背包中。具体步骤如下:
1. 根据单位重量的价值将物品从大到小排序;
2. 依次将排好序的物品放入背包中,如果放不下则只取能放下的部分;
3. 直到背包装满或没有要放的物品为止。
这种贪心策略可以得到较优解,但并不能保证一定是最优解。
二、动态规划
动态规划是一种基于递推的算法,通常适用于有重叠子问题和具有最优子结构性质的问题。
对于背包问题,我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值,则在状态转移时,分两种情况:
1. 不选第i件物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j];
2. 选第i件物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i];
综合这两种情况,状态转移公式为:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
其中,max表示取最大值。
最终,当所有物品都被处理完毕时,dp[n][c]就是问题的解,即背包容量为c时能够装下的最大价值。
综上所述,从一开始的选择物品,到最后得到最优解的过程中,贪心算法和动态规划两种算法各有优缺点,需要根据实际问题的特点进行选择和优化。
### 回答3:
本题是一个经典的动态规划问题,需要通过寻找最优子结构和无后效性来确定状态转移方程。
首先定义一个二维数组dp[i][j],表示前i个物品放进容量为j的背包中所能取得的最大价值。
对于一个物品i,存在两种情况:
(1)不放入背包中,此时总价值为dp[i-1][j];
(2)放入背包中,此时总价值为dp[i-1][j-wi]+vi,其中dp[i-1][j-wi]表示容量为j-wi的背包所能取得的最大价值,加上当前物品的价值vi。
综合上述两种情况,对dp[i][j]进行转移,有:
当j<wi时,dp[i][j]=dp[i-1][j];
当j>=wi时,dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi);
最终,dp[n][c]即为所求,即前n个物品能够放进容量为c的背包中所能取得的最大价值。
需要注意的是,由于dp状态转移方程所涉及的变量均小于等于1000,因此可以用滚动数组来进行优化。
给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100),价值为vi(vi<=100),背包的容量为C(C<=1000)。 应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有两个选择:
这是一个经典的背包问题,可以使用动态规划来解决。
定义一个二维数组dp[i][j],表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。
则状态转移方程为:
1. 如果不选择第i个物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j];
2. 如果选择第i个物品,则dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi;
3. 综合上述两种情况,则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)。
最后,dp[n][C]就是背包能够装下的最大价值。
时间复杂度为O(nC),可以通过这个问题来练习动态规划的思想。
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