Python实现谱聚类算法并可视化显示

谱聚类是一种无监督的聚类算法，其基本思想是将数据集表示为一个图，利用图的谱特征进行聚类。下面介绍如何用Python实现谱聚类算法并可视化显示。

1. 数据准备

首先，我们需要准备一个数据集。这里我们使用sklearn库中的make_circles函数生成一个带有两个圆环的数据集。代码如下：

from sklearn.datasets import make_circles
X, y = make_circles(n_samples=1000, factor=0.5, noise=0.05)

2. 构建相似矩阵

接下来，我们需要构建一个相似矩阵。对于每一个数据点，我们可以计算它与其他点之间的相似度，然后将相似度转换为权重，构建一个权重矩阵。这里我们使用高斯核函数计算相似度。代码如下：

import numpy as np

def similarity_matrix(X, sigma=0.1):
    n = X.shape[0]
    W = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            d = np.linalg.norm(X[i]-X[j])
            W[i,j] = np.exp(-d**2/(2*sigma**2))
            W[j,i] = W[i,j]
    return W

W = similarity_matrix(X)

3. 构建拉普拉斯矩阵

接下来，我们需要构建拉普拉斯矩阵。拉普拉斯矩阵可以分为两种：对称归一化拉普拉斯矩阵和非对称归一化拉普拉斯矩阵。这里我们使用对称归一化拉普拉斯矩阵。代码如下：

def laplacian_matrix(W):
    D = np.diag(W.sum(axis=1))
    L = D - W
    D_sqrt = np.sqrt(np.linalg.inv(D))
    L_sym = np.dot(np.dot(D_sqrt, L), D_sqrt)
    return L_sym

L = laplacian_matrix(W)

4. 计算特征向量

接下来，我们需要计算拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值。代码如下：

eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(L)
idx = eigvals.argsort()
eigvals = eigvals[idx]
eigvecs = eigvecs[:,idx]

5. 聚类

接下来，我们可以使用KMeans或者其他聚类算法对特征向量进行聚类。这里我们使用KMeans。代码如下：

from sklearn.cluster import KMeans

kmeans = KMeans(n_clusters=2)
kmeans.fit(eigvecs[:,:2])
labels = kmeans.labels_

6. 可视化

最后，我们可以将聚类结果可视化。代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=labels)
plt.show()

完整代码如下：

from sklearn.datasets import make_circles
import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt

def similarity_matrix(X, sigma=0.1):
    n = X.shape[0]
    W = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            d = np.linalg.norm(X[i]-X[j])
            W[i,j] = np.exp(-d**2/(2*sigma**2))
            W[j,i] = W[i,j]
    return W

def laplacian_matrix(W):
    D = np.diag(W.sum(axis=1))
    L = D - W
    D_sqrt = np.sqrt(np.linalg.inv(D))
    L_sym = np.dot(np.dot(D_sqrt, L), D_sqrt)
    return L_sym

X, y = make_circles(n_samples=1000, factor=0.5, noise=0.05)
W = similarity_matrix(X)
L = laplacian_matrix(W)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(L)
idx = eigvals.argsort()
eigvals = eigvals[idx]
eigvecs = eigvecs[:,idx]
kmeans = KMeans(n_clusters=2)
kmeans.fit(eigvecs[:,:2])
labels = kmeans.labels_
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=labels)
plt.show()

运行结果如下图所示：