二维热传导方程Crank Nicolson求解原理

二维热传导方程可以用Crank-Nicolson方法进行求解。具体的求解原理如下：

假设二维热传导方程可以写成如下形式：

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$

其中，$u(x,y,t)$表示温度分布，$\alpha$表示热扩散系数。

我们可以采用离散化的方法将该方程转化为一个差分方程，然后用Crank-Nicolson方法进行求解。

首先，将时间轴$t$离散化，设$t_n = n\Delta t$，其中$\Delta t$表示时间步长。

然后，将空间轴$x$和$y$离散化，设$x_i = i\Delta x$，$y_j = j\Delta y$，其中$\Delta x$和$\Delta y$分别表示$x$和$y$的空间步长。

接着，将二维热传导方程在点$(x_i,y_j,t_n)$处进行差分，得到如下的差分方程：

$\frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^n}{\Delta t} = \frac{\alpha}{2} \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)_{i,j}^{n+1/2}$

其中，$(\partial^2 u/\partial x^2)_{i,j}^{n+1/2}$和$(\partial^2 u/\partial y^2)_{i,j}^{n+1/2}$分别表示在点$(x_i,y_j,t_{n+1/2})$处的$x$和$y$方向上的二阶导数，可以通过中心差分法进行近似计算。

将$(\partial^2 u/\partial x^2)_{i,j}^{n+1/2}$和$(\partial^2 u/\partial y^2)_{i,j}^{n+1/2}$代入上述差分方程中，得到：

$-\frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}u_{i-1,j}^{n+1} + (1+\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}+\frac{\alpha\Delta t}{\Delta y^2})u_{i,j}^{n+1} -\frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}u_{i+1,j}^{n+1}$

$= \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}u_{i-1,j}^n + (1-\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}-\frac{\alpha\Delta t}{\Delta y^2})u_{i,j}^n + \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}u_{i+1,j}^n$

类似地，我们还可以得到在$(x_i,y_j,t_n)$处的差分方程：

$-\frac{\alpha\Delta t}{2\Delta y^2}u_{i,j-1}^{n+1} + (1+\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}+\frac{\alpha\Delta t}{\Delta y^2})u_{i,j}^{n+1} -\frac{\alpha\Delta t}{2\Delta y^2}u_{i,j+1}^{n+1}$

$= \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta y^2}u_{i,j-1}^n + (1-\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}-\frac{\alpha\Delta t}{\Delta y^2})u_{i,j}^n + \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta y^2}u_{i,j+1}^n$

最后，我们可以用迭代的方式求解上述差分方程组，得到离散化后的温度分布$u_{i,j}^{n+1}$。

Crank-Nicolson方法的优点在于，它是一个隐式方法，具有较好的稳定性和精度。同时，它可以通过矩阵求解技术高效地求解差分方程组。