python题目描述 有一个容量为V的背包，同时还有n个物品，每个物品的体积都不同。 在这n个物品中，任取若干个装入背包内，使得背包的剩余空间最小。 输入格式 两行，第一行为背包容量V和物品件数n，第二行为n个用空格隔开的整数。 输出格式 一个整数，背包的剩余容积。 说明/提示 1 <= V <= 1000 1 <= n <= 10 例如: 输入 结果 100 4 50 20 45 19 5

这是一道经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

首先定义状态：设 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包中的剩余空间。

则有状态转移方程：$$f(i,j) = \min\{f(i-1,j),f(i-1,j-w_i)\}$$ 其中 $w_i$ 表示第 $i$ 个物品的体积。

最终的答案即为 $f(n,V)$。

Python 代码如下：

相关问题

题目描述 有一个容量为V的背包，同时还有n个物品，每个物品的体积都不同。 在这n个物品中，任取若干个装入背包内，使得背包的剩余空间最小。 输入格式 两行，第一行为背包容量V和物品件数n，第二行为n个用空格隔开的整数。 输出格式 一个整数，背包的剩余容积。 说明/提示 1 <= V <= 1000 1 <= n <= 10

这是一道背包问题，可以使用动态规划来解决。

具体思路如下：

1. 读入背包容量 V 和物品个数 n，以及每个物品的体积 v。

2. 创建一个大小为 (n+1) * (V+1) 的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包后剩余的最小空间。

3. 初始化 dp 数组，当背包容量为 0 时，剩余空间为 0，即 dp[i][0] = 0；当物品个数为 0 时，剩余空间为背包容量，即 dp[0][j] = j。

4. 对于每个物品 i，分两种情况进行考虑：

a. 如果物品 i 的体积大于当前背包容量 j，那么不能将物品 i 放入背包中，此时 dp[i][j] = dp[i-1][j]，即当前物品不放入背包。

b. 如果物品 i 的体积小于等于当前背包容量 j，则可以选择将物品 i 放入背包中或者不放入背包中，取两者中剩余空间最小的值，即 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]])，其中 v[i] 表示第 i 个物品的体积。

5. 最终的结果为 dp[n][V]，即前 n 个物品放入容量为 V 的背包后剩余的最小空间。

下面是代码实现：

V, n = map(int, input().split())
v = list(map(int, input().split()))

dp = [[0] * (V+1) for _ in range(n+1)]

for j in range(V+1):
    dp[0][j] = j

for i in range(1, n+1):
    for j in range(V+1):
        if v[i-1] > j:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        else:
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]])

print(dp[n][V])

希望能够对你有所帮助！

题目描述 现在有一个背包(容器),它的体积(容量)为M,现在有N种物品(每个物品只有一个),每个物品的价值V[i]和占用空间W[i]都会由输入给出,现在问这个背包最多能携带总价值多少的物品? 设有N种物品，每种物品有一个重量及一个价值。同时有一个背包，最大载重量为M，从ｎ种物品中选取若干件，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。N<=100,M<1000. 输入 第一行两个数：物品总数Ｎ，背包载重量M；两个数用空格分隔； 第二行N个数,为Ｎ种物品重量Wi(<1000)；两个数用空格分隔； 第三行N个数,为N种物品价值Vi(<1000); 两个数用空格分隔； 输出 一个整数，表示总价值。

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划求解。我们可以用一个二维数组 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 种物品中选取若干件，使得它们的重量和不超过 $j$ 时的最大总价值。则有如下的状态转移方程：

$$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-W[i]]+V[i])$$

其中，$W[i]$ 和 $V[i]$ 分别表示第 $i$ 种物品的重量和价值。如果不选第 $i$ 种物品，则 $dp[i][j]$ 等于前 $i-1$ 种物品中选取若干件，使它们的重量和不超过 $j$ 时的最大总价值；如果选择第 $i$ 种物品，则 $dp[i][j]$ 等于前 $i-1$ 种物品中选取若干件，使它们的重量和不超过 $j-W[i]$ 时的最大总价值加上第 $i$ 种物品的价值。

根据状态转移方程，我们可以写出如下的 Python 代码实现：

def knapsack(N, M, W, V):
    dp = [[0] * (M + 1) for _ in range(N + 1)]
    for i in range(1, N + 1):
        for j in range(1, M + 1):
            if j >= W[i - 1]:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - W[i - 1]] + V[i - 1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
    return dp[N][M]

其中，$W$ 和 $V$ 分别是长度为 $N$ 的列表，表示 $N$ 种物品的重量和价值。最终返回的是 $dp[N][M]$，即在前 $N$ 种物品中选取若干件，使得它们的重量和不超过 $M$ 时的最大总价值。

时间复杂度为 $O(NM)$，空间复杂度为 $O(NM)$。如果要优化空间复杂度，可以使用滚动数组的方法，将二维数组压缩成一维数组，从而将空间复杂度优化为 $O(M)$。