给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值为vi(vi<=100)，背包的容量为C(C<=1000)。 应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：装入或不装入。不能将物品i装入多次，也不能只装入部分物品i，用java代码解决

这是一个典型的01背包问题。

解决这个问题的常用方法是使用动态规划。

我们可以使用一个二维数组 $dp[i][j]$ 来表示，在前 $i$ 种物品中选择若干个物品，使得它们的总重量不超过 $j$ 时，所能达到的最大价值。

状态转移方程如下：

$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i)$

代码如下：

int n = 100; // 物品的数量
int C = 1000; // 背包的容量
int[] w = new int[n+1]; // 物品的重量
int[] v = new int[n+1]; // 物品的价值

int[][] dp = new int[n+1][C+1];

// 动态规划
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= C; j++) {
        if (j < w[i]) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        } else {
            dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
}

// 输出最大价值
System.out.println(dp[n][C]);

注意：在实际实现中，可以使用一维数组滚动更新，从而将空间复杂度降低至 $O(C)$。

相关问题

给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值为vi(vi<=100)，背包的容量为c(c<=1000)。\n应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最

### 回答1：
题目描述：给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值是vi(vi<=100)，背包的容量为c(c<=1000)。选择装入背包中的物品，要求装入的物品不能超过背包容量，使得装入的物品的总价值最大。

解题思路：01背包问题，使用动态规划算法。先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。则状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)

其中，dp[i-1][j]表示不放i物品的最大价值，dp[i-1][j-wi] + vi表示放i物品的最大价值。

最终结果为dp[n][c]，即前n个物品放入容量为c的背包中的最大价值。

代码实现：

n, c = map(int, input().split())
w = [0] * (n+1) # 重量
v = [0] * (n+1) # 价值
for i in range(1, n+1):
wi, vi = map(int, input().split())
w[i], v[i] = wi, vi

dp = [[0] * (c+1) for _ in range(n+1)] # 初始化dp数组
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, c+1):
if j < w[i]: # 背包容量小于物品重量，无法放入
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else: # 可以选择放或不放，取最大价值
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

print(dp[n][c])

### 回答2：
对于背包问题，本质上就是要通过贪心或动态规划的方法，选择尽可能多的物品放到背包中，来达到最大价值。

一、贪心算法

贪心算法是一种基于贪心选择性质的策略，即在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，从而希望最后获得的全局最优解。

对于背包问题，我们可以按照单位重量的价值（vi/wi）从大到小排序，然后依次将价值较高的物品放入背包中。具体步骤如下：

1. 根据单位重量的价值将物品从大到小排序；
2. 依次将排好序的物品放入背包中，如果放不下则只取能放下的部分；
3. 直到背包装满或没有要放的物品为止。

这种贪心策略可以得到较优解，但并不能保证一定是最优解。

二、动态规划

动态规划是一种基于递推的算法，通常适用于有重叠子问题和具有最优子结构性质的问题。

对于背包问题，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值，则在状态转移时，分两种情况：

1. 不选第i件物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；
2. 选第i件物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]；

综合这两种情况，状态转移公式为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，max表示取最大值。

最终，当所有物品都被处理完毕时，dp[n][c]就是问题的解，即背包容量为c时能够装下的最大价值。

综上所述，从一开始的选择物品，到最后得到最优解的过程中，贪心算法和动态规划两种算法各有优缺点，需要根据实际问题的特点进行选择和优化。

### 回答3：
本题是一个经典的动态规划问题，需要通过寻找最优子结构和无后效性来确定状态转移方程。

首先定义一个二维数组dp[i][j]，表示前i个物品放进容量为j的背包中所能取得的最大价值。

对于一个物品i，存在两种情况：

（1）不放入背包中，此时总价值为dp[i-1][j]；

（2）放入背包中，此时总价值为dp[i-1][j-wi]+vi，其中dp[i-1][j-wi]表示容量为j-wi的背包所能取得的最大价值，加上当前物品的价值vi。

综合上述两种情况，对dp[i][j]进行转移，有：

当j<wi时，dp[i][j]=dp[i-1][j]；

当j>=wi时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)；

最终，dp[n][c]即为所求，即前n个物品能够放进容量为c的背包中所能取得的最大价值。

需要注意的是，由于dp状态转移方程所涉及的变量均小于等于1000，因此可以用滚动数组来进行优化。

给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值为vi(vi<=100)，背包的容量为C(C<=1000)。 应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。

则状态转移方程为：

1. 如果不选择第i个物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；
2. 如果选择第i个物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi；
3. 综合上述两种情况，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)。

最后，dp[n][C]就是背包能够装下的最大价值。

时间复杂度为O(nC)，可以通过这个问题来练习动态规划的思想。