mathematica计算偏微分方程

在Mathematica中求解偏微分方程可以使用DSolve和NDSolve函数。

DSolve函数用于求解解析解，NDSolve函数用于求解数值解。

下面以一个简单的例子来说明如何使用这两个函数求解偏微分方程。

例：求解二维热传导方程

偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial t}=k(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2})$

边界条件：$u(x,0)=\sin(x), u(0,y)=u(\pi,y)=u(x,\pi)=0$

初始条件：$u(x,y,0)=\sin(x)\sin(y)$

解析解：

使用DSolve函数求解该方程的解析解：

sol = DSolve[{D[u[x, y, t], t] == k*(D[u[x, y, t], {x, 2}] + D[u[x, y, t], {y, 2}]), u[x, y, 0] == Sin[x]*Sin[y], u[x, 0, t] == Sin[x], u[0, y, t] == u[Pi, y, t] == u[x, Pi, t] == 0}, u[x, y, t], {x, y, t}]

其中，{x, y, t}表示解关于x,y,t的形式。

数值解：

使用NDSolve函数求解该方程的数值解：

sol = NDSolve[{D[u[x, y, t], t] == k*(D[u[x, y, t], {x, 2}] + D[u[x, y, t], {y, 2}]), u[x, y, 0] == Sin[x]*Sin[y], u[x, 0, t] == Sin[x], u[0, y, t] == u[Pi, y, t] == u[x, Pi, t] == 0}, u, {x, 0, Pi}, {y, 0, Pi}, {t, 0, 1}]

其中，{x, 0, Pi}表示x的取值范围为[0,Pi]，{y, 0, Pi}表示y的取值范围为[0,Pi]，{t, 0, 1}表示t的取值范围为[0,1]。

可以使用Plot3D函数将数值解可视化：

Plot3D[u[x, y, t] /. sol, {x, 0, Pi}, {y, 0, Pi}, PlotRange -> All]