如何应用卷积定理解决连续系统的阶跃和冲激响应问题？请结合电路分析举例说明。

卷积定理是分析连续系统时域响应的强大工具，特别是在处理线性时不变（LTI）系统时尤为重要。在电路分析中，卷积定理可以帮助我们求解系统对阶跃和冲激输入的响应。例如，考虑一个RC电路，其微分方程通常表示为 d(Ci)/dt + (1/RC)i = u(t)/R，其中i是电流，u(t)是输入电压，C和R分别是电容和电阻的值。

参考资源链接：[解析连续系统：函数与冲激函数卷积的性质与应用](https://wenku.csdn.net/doc/2n1uy8qaug?spm=1055.2569.3001.10343)

为了求解阶跃响应，我们首先确定系统的冲激响应h(t)，它是输入一个冲激信号时电路的响应。对于RC电路，h(t)可以表示为 (1/R)e^(-t/RC)u(t)。然后，根据卷积定理，系统的阶跃响应s(t)可以通过输入信号u(t)与冲激响应h(t)的卷积得到，即 s(t) = u(t) * h(t)，这里'*'表示卷积运算。

在求解过程中，我们可以将输入信号u(t)视为一个阶跃函数，其数学表达为 u(t) = 1 (t ≥ 0) 和 u(t) = 0 (t < 0)。根据卷积的定义，我们有 s(t) = ∫ h(τ)u(t-τ)dτ，从τ=0到t。由于u(t)为阶跃函数，积分可以简化为从τ=0到t的h(τ)的积分，即 s(t) = ∫ (1/R)e^(-τ/RC)u(t-τ)dτ。

通过这个积分过程，我们可以得到电路对于阶跃输入的电流响应。同样地，对于冲激响应，我们可以直接应用冲激函数δ(t)，其卷积过程与阶跃响应类似，但因为冲激函数的特殊性质，结果将直接反映系统的冲激响应。

以上过程不仅展示了卷积在求解电路响应时的应用，还强调了卷积定理在理解和分析LTI系统中的重要性。对于想要深入了解连续系统分析和电路理论的人来说，掌握卷积的原理和应用至关重要。对此，推荐阅读《解析连续系统：函数与冲激函数卷积的性质与应用》，该书详细讲解了卷积在连续系统分析中的应用，提供了丰富的理论和实例，有助于读者深入理解并应用这些概念。

参考资源链接：[解析连续系统：函数与冲激函数卷积的性质与应用](https://wenku.csdn.net/doc/2n1uy8qaug?spm=1055.2569.3001.10343)