matlab非线性方程组的迭代解法

Matlab中求解非线性方程组的迭代解法有很多，下面介绍其中的两种常用方法：牛顿迭代法和拟牛顿迭代法。

1. 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种基于局部线性化思想的迭代方法。对于给定的非线性方程组$f(x)=0$，我们可以在当前点$x_k$处利用$f(x)$的一阶泰勒展开式进行线性化，得到：

$$f(x)\approx f(x_k)+J_f(x_k)(x-x_k)$$

其中，$J_f(x_k)$是$f(x)$在$x_k$处的雅可比矩阵。将上述线性化式子代入原方程组，得到：

$$f(x_k)+J_f(x_k)(x-x_k)=0$$

移项可得牛顿迭代公式：

$$x_{k+1}=x_k-J_f^{-1}(x_k)f(x_k)$$

其中，$J_f^{-1}(x_k)$是$f(x)$在$x_k$处的雅可比矩阵的逆矩阵。

在Matlab中，我们可以使用`fsolve`函数实现牛顿迭代法求解非线性方程组。具体使用方法如下：

% 定义非线性方程组
function F = myfun(x)
F(1) = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
F(2) = x(1) - x(2)^3;

% 初始点
x0 = [1;1];

% 使用fsolve求解
options = optimset('Display','iter','TolFun',1e-10,'TolX',1e-10);
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(@myfun,x0,options);

其中，`myfun`函数定义了非线性方程组，`x0`是初始点，`options`是求解选项，`fsolve`函数返回解向量`x`、函数值向量`fval`、求解退出标志`exitflag`以及求解信息`output`。

2. 拟牛顿迭代法

拟牛顿迭代法是一种不需要计算雅可比矩阵逆矩阵的迭代方法。在每次迭代中，我们通过一些启发式的方法来逼近雅可比矩阵的逆矩阵，从而更新迭代点。常用的拟牛顿迭代法有DFP算法和BFGS算法。

在Matlab中，我们同样可以使用`fsolve`函数结合拟牛顿迭代法求解非线性方程组。具体使用方法如下：

% 定义非线性方程组
function F = myfun(x)
F(1) = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
F(2) = x(1) - x(2)^3;

% 初始点
x0 = [1;1];

% 定义拟牛顿算法选项
options = optimoptions('fsolve','Display','iter','Algorithm','trust-region');

% 使用fsolve求解
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(@myfun,x0,options);

其中，`Algorithm`选项可选择`trust-region`算法来使用拟牛顿迭代法求解非线性方程组。其他选项同样可以设置。