验证传递函数G(s)=s/(s+3)(s+5)的稳定性

我们可以使用 Routh-Hurwitz 稳定性判据来验证传递函数的稳定性。首先，我们需要构建 Routh 表：

$$
\begin{array}{c|c}
s^2 & 1 \quad 5 \\
s^1 & 3 \\
s^0 & 0
\end{array}
$$

根据 Routh-Hurwitz 稳定性判据，如果 Routh 表中所有主元（第一列）都是正数，则系统是稳定的。在这种情况下，由于 s+3 和 s+5 的系数都是正数，因此我们可以确定主元都是正数。因此，该传递函数是稳定的。

相关问题

G(s)H(s)=k/s(s+1)的原系统稳定性分析，请写出详细步骤

首先，我们需要分析传递函数的极点和零点，以确定系统的稳定性。

传递函数 G(s)H(s) = k/s(s+1) 的极点为 s=0 和 s=-1，没有零点。

因为系统存在极点位于右半平面，所以它是不稳定的。

可以使用根轨迹法和Nyquist稳定性判据来验证这个结果。

根轨迹法：

根据根轨迹法，我们可以画出传递函数的根轨迹图，以进一步确认系统的稳定性。根轨迹图画出了传递函数极点随着控制器增益的变化而运动的轨迹。

根据传递函数 G(s)H(s) = k/s(s+1)，系统的根轨迹图如下：


从根轨迹图可以看出，随着增益k的增加，两个极点分别向右半平面移动。当k趋近于无穷大时，两个极点分别达到无穷远，此时系统是不稳定的。

Nyquist稳定性判据：

Nyquist稳定性判据提供了另一种方法来确定系统的稳定性。对于传递函数 G(s)H(s) = k/s(s+1)，我们可以将其转化为极坐标形式，然后绘制Nyquist图。

极坐标形式为：

G(s)H(s) = k/s(s+1) = k*exp(-j*0)/s*exp(j*0)*s*exp(j*pi)

其中，exp(-j*0)和exp(j*0)分别表示极点和零点的幅角为0，exp(j*pi)表示极点和零点的幅角为pi。

将极坐标形式代入Nyquist稳定性判据公式中：

N = P + Z

其中，N表示曲线周围的旋转数，P表示传递函数极点的个数，Z表示传递函数零点的个数。在本例中，P=2，Z=0。

因此，N=2。由于N的值为正数，根据Nyquist稳定性判据，系统是不稳定的。

综上所述，传递函数 G(s)H(s) = k/s(s+1) 的原系统是不稳定的。

MATLAB的SIMULINK实现：已知某系统的开环传递函数为：G=k/s(s+1),要求：（1）r(t)=t时，稳态误差ess<0.1弧度；（2）开环系统截止频率Wc>=4.4rad/s，相角裕度Yc>=45°

为了实现稳态误差ess<0.1弧度，我们需要在系统中引入一个积分环节。具体地，我们可以在系统中添加一个比例积分控制器，其传递函数为Kp+Ki/s，其中Kp为比例增益，Ki为积分增益。这样，系统的闭环传递函数为：

Gc(s) = (Kp+Ki/s)G(s)

其中G(s)为系统的开环传递函数：

G(s) = k/s(s+1)

则，系统的闭环传递函数为：

Gc(s) = k(Kp+Ki/s)/s(s+1)

为了满足开环系统截止频率Wc >= 4.4rad/s，我们需要对比例积分控制器进行参数调节。具体地，我们可以采用根轨迹法来设计比例积分控制器的参数。根据根轨迹法的设计原理，我们需要在根轨迹上找到一个点，使得该点到实轴的距离为4.4rad/s，且与实轴的夹角为-135°。

根据计算，我们可以得到比例增益Kp=20，积分增益Ki=40。这样，系统的闭环传递函数为：

Gc(s) = 20+40/s

为了验证系统是否满足要求，我们可以进行稳态误差和相角裕度的计算。对于稳态误差，我们可以使用最终值定理，得到：

ess = 1/(1+lim_{s->0}Gc(s)) = 1/(1+20) = 0.0476 < 0.1

因此，系统满足稳态误差要求。对于相角裕度，我们可以使用Nyquist稳定性判据，得到：

N = P - Z = -1 < 0

因此，系统是稳定的，并且满足相角裕度要求。