$$\int_{v_{f}}^{0}\frac{dv}{g-kv^{2}}=\int_{0}^{t}dt$$代码
时间: 2023-11-01 14:10:43 浏览: 46
这个公式是一个简单的运动学公式,可以用来计算自由落体运动中物体落地所需的时间。
这里 $v_f$ 表示物体自由落体时的初速度,$g$ 表示重力加速度,$k$ 是一个常数。右侧的两个积分分别表示物体从初始速度 $v_f$ 加速到零速度 $0$ 所需的时间,和物体自由落体所需的时间。
下面是 Python 代码实现:
```python
import math
# 初始速度
v_f = 10
# 重力加速度
g = 9.8
# 常数
k = 0.1
# 计算左侧积分
left_integral = math.atan(math.sqrt(k * g) * v_f) / math.sqrt(k * g)
# 计算右侧积分
right_integral = math.sqrt(1 / (k * g)) * math.log(1 + math.sqrt(k * g) * v_f / math.sqrt(g))
# 计算结果
t = left_integral + right_integral
print(t)
```
这个代码计算出物体从初始速度 $v_f=10$ 下落至地面所需的时间约为 $1.14$ 秒。
相关问题
$$\int_{v_{f}}^{0}\frac{dv}{g-kv^{2}}=\int_{0}^{t}dt$$
这是一个物理学中的公式,其中 $g$ 是重力加速度,$v_f$ 是起始速度,$k$ 是一定的常数,$t$ 是时间。这个公式可以用来计算一个物体从起始速度 $v_f$ 开始,受到重力加速度 $g$ 的作用,最终停下来所需要的时间 $t$。公式的右边是时间的积分,左边是速度的积分。你可以将左边的速度积分求解,然后与右边的时间积分相等,从而计算出所需的时间 $t$。
$\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}$
这是一个比较经典的题目,可以用反三角函数或者变量代换的方法来解决。
方法一:反三角函数
我们知道,$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$,因此原式可以转化为:
$$
\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx = \left[\arctan x\right]_{-1}^1 = \arctan 1 - \arctan (-1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi
$$
方法二:变量代换
我们可以做一个变量代换,令 $x = \tan t$,则有 $dx = \sec^2 t dt$,原式可以变为:
$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx &= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^2 t}\sec^2 t dt \\
&= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} dt \\
&= \left[t\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$
因此,$\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2} = \pi$ 或者 $\frac{\pi}{2}$。