质量为2kg的质点以初速度v0 沿x轴作直线运动,起始位置在坐标原点处,其合力与其速率成正比、与速度方向相反,即: ,则该质点的运动学方程为()

根据牛顿第二定律，合力与物体的加速度成正比，即$F=ma$。由于合力与速率成正比，且与速度方向相反，可以写成$F=-kv$，其中$k$为比例系数。

由于质点沿x轴作直线运动，因此只考虑x轴方向的运动，设质点在$t$时刻的位置为$x(t)$，速度为$v(t)$，加速度为$a(t)$。根据牛顿第二定律可得：

$$
ma=-kv
$$

由于质点质量为2kg，因此$m=2$。将上式改写为：

$$
a=-\frac{k}{2}v
$$

根据速度和加速度的关系，可以得到：

$$
\frac{dv}{dt}=a=-\frac{k}{2}v
$$

将上式改写为分离变量的形式：

$$
\frac{dv}{v}=-\frac{k}{2}dt
$$

两边同时积分：

$$
\ln|v|=-\frac{k}{2}t+C_1
$$

其中$C_1$为常数。由于初始时刻质点速度为$v_0$，因此可以确定常数$C_1$：

$$
\ln|v_0|=-\frac{k}{2}\times 0+C_1
$$

解得$C_1=\ln|v_0|$。因此有：

$$
\ln|v|=-\frac{k}{2}t+\ln|v_0|
$$

将上式改写为指数形式：

$$
|v|=e^{-\frac{k}{2}t+\ln|v_0|}=v_0e^{-\frac{k}{2}t}
$$

由于合力与速率成正比，且与速度方向相反，因此可以写成$F=-kv=-\frac{k}{2}mv=-mv'$，其中$v'$为速度的相反数。因此有：

$$
F=-2v'e^{-\frac{k}{2}t}
$$

根据牛顿第二定律可以得到：

$$
ma=F=-2v'e^{-\frac{k}{2}t}
$$

代入$a=-\frac{k}{2}v$可得：

$$
-\frac{k}{2}v=\frac{d}{dt}(-v'e^{-\frac{k}{2}t})
$$

对右侧进行求导可得：

$$
-\frac{k}{2}v=\frac{k}{2}v'e^{-\frac{k}{2}t}-v'e^{-\frac{k}{2}t}\frac{k}{2}
$$

化简可得：

$$
v=\frac{2v_0}{1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})}
$$

将$v$代入$x(t)$的定义式$x(t)=x_0+\int_0^t v(t)dt$中，可以得到：

$$
x(t)=\frac{2v_0}{k}\ln\left(1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})\right)
$$

综上，该质点的运动学方程为：

$$
\begin{cases}
x(t)=\frac{2v_0}{k}\ln\left(1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})\right)\\
v(t)=\frac{2v_0}{1+v_0\frac{k}{m}(1-e^{-\frac{k}{m}t})}
\end{cases}
$$