用不动点迭代格式x(k+1)=1/(x(k)+1)²,求解方程f(x)=x(x+1)²-1=0在区间[0,1]的一个实根,初始值x₀=0.4,精确至4位有效数字。
时间: 2023-02-07 18:19:34 浏览: 61
不动点迭代法是用来求解方程的一种迭代方法。我们可以用迭代公式 $x_{k+1}=1/(x_k+1)^2$ 对初始值 $x_0=0.4$ 进行迭代求解。在每一次迭代中,我们可以通过计算 $f(x_{k+1})$ 来判断迭代是否收敛。当 $f(x_{k+1})$ 的绝对值小于一个阈值(例如 $10^{-4}$)时,我们就可以认为迭代已经收敛,结束迭代。
下面是迭代的伪代码实现:
```
x = 0.4
threshold = 10^-4
while True:
x_new = 1/(x+1)^2
if abs(f(x_new)) < threshold:
break
x = x_new
```
根据这个伪代码,我们可以用不动点迭代法求解方程 $f(x)=x(x-1)^2-1=0$ 在区间 $[0,1]$ 中的一个实根,精确至 4 位有效数字。
相关问题
对迭代格式xn+1=x*(x-1)如何用Matlab迭代
对于给定的迭代格式$x_{n+1}=x_n(x_n-1)$,我们可以使用Matlab编写如下的代码来进行迭代:
```matlab
% 设置初始值
x0 = 1;
% 设置迭代次数
n = 10;
% 迭代计算
for i = 1:n
x1 = x0 * (x0 - 1);
x0 = x1;
end
% 输出结果
disp(['迭代', num2str(n), '次后的结果为:', num2str(x0)]);
```
在上面的代码中,我们首先设置了初始值$x_0=1$和迭代次数$n=10$,然后使用for循环进行迭代计算。每次迭代中,我们通过给定的迭代格式计算$x_{n+1}$,并将其赋值给$x_0$,以便进行下一次迭代。最后,我们输出迭代$n$次后得到的最终结果$x_n$。您可以根据需要修改初始值和迭代次数,以获得不同的结果。
利用matlab编程求解下面问题:用不动点迭代格式x_{k+1}=1/(x_{k}+1)²,求解方程f(x)=x(x+1)²-1=0在区间[0,1]的一个实根,初始值x₀=0.4,精确至4位有效数字。
### 回答1:
下面是一个例子,该例子使用不动点迭代法解决 f(x)=x(x-1)^2-1=0 在区间 [0,1] 内的实根:
```
x0 = 0.4; % 初始值
tol = 1e-4; % 精度
maxIter = 1000; % 最大迭代次数
% 不动点迭代格式
g = @(x) 1./(x.^2);
% 迭代
for k = 1:maxIter
x = g(x0); % 计算 x_{k+1}
if abs(x - x0) < tol % 判断是否满足精度要求
fprintf('在 %d 次迭代后,找到解 %.4f\n', k, x);
break;
end
x0 = x; % 更新 x0
end
if k == maxIter
fprintf('超出最大迭代次数,无解\n');
end
```
如果要在区间 [0,1] 之间寻找实根,则可以修改上述程序,在每次迭代后检查 x 是否在该区间之内,如果不在,则退出迭代,否则继续迭代。
有关不动点迭代法的更多信息,请参阅 Matlab 文档:
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fixed-point-iteration.html
### 回答2:
利用不动点迭代法求解方程f(x)=x(x^2-1)=0,可以先将方程转化为不动点迭代格式x_{k+1}=1/(x_k^2),然后选取初始值x₀=0.4。
首先定义迭代函数:
function y = iter_func(x)
y = 1/(x^2);
end
然后编写迭代求解代码:
x0 = 0.4;
x = x0;
for k = 1:1000
x_new = iter_func(x);
if abs(x_new-x) < 10^(-4) % 设置迭代精度为4位有效数字
break;
end
x = x_new;
end
最后打印求得的实根:
disp(['实根为:', num2str(x_new)]);
上述代码中,通过定义迭代函数iter_func进行不动点迭代,然后通过循环迭代,直到达到所需精度为止。最后将结果打印出来。
需要注意的是,不动点迭代法的收敛性很大程度上取决于迭代函数的选择,若选择的迭代函数不满足收敛条件,则可能无法求得精确解。
### 回答3:
利用Matlab编程求解该问题可以通过不动点迭代方法进行。首先,定义函数f(x)和不动点迭代格式x_{k+1} = 1/(x_k + 1)^2。
```matlab
function root = fixedPointMethod()
f = @(x) x*(x-1)^2 - 1; % 定义方程f(x)
x_k = 0.4; % 初始值x₀
epsilon = 1e-4; % 精度为4位有效数字
while abs(f(x_k)) > epsilon
x_k_1 = 1 / (x_k + 1)^2; % 不动点迭代
x_k = x_k_1;
end
root = x_k; % 返回迭代得到的根
end
```
然后,在主程序中调用该函数并输出结果。
```matlab
root = fixedPointMethod();
disp(root);
```
上述代码会输出方程f(x)的实根,精确至4位有效数字。
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