埃氏筛法和线性筛法c++

埃氏筛法（Eratosthenes筛法）和线性筛法（Linear Sieve）都是用于求解素数的算法。它们的主要区别在于筛选过程中的操作不同。

1. 埃氏筛法：埃氏筛法是一种古老的求解素数的算法，由古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出。它的基本思想是从2开始，将所有2的倍数标记为非素数，然后找到下一个未被标记的数（即3），将所有3的倍数标记为非素数，依此类推。最后留下的未被标记的数就是素数。

C++实现埃氏筛法的代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1000000;vector<int> is_prime(N, true);

void sieve_of_eratosthenes() {
    is_prime = is_prime = false;
    for (int i = 2; i * i < N; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            for (int j = i * i; j < N; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
    sieve_of_eratosthenes();
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            cout << i << " ";
        }
    }
    return 0;
}

2. 线性筛法：线性筛法是一种改进的埃氏筛法，它将筛选过程从平方根优化到线性时间。线性筛法的基本思想是对于每个素数p，筛选出所有小于等于p^2的合数。这样可以减少筛选的次数，提高效率。

C++实现线性筛法的代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1000000;
vector<int> is_prime(N, true);
vector<int> primes;

void linear_sieve() {
    is_prime = is_prime = false;
    for (int p = 2; p * p < N; ++p) {
        if (is_prime[p]) {
            for (int i = p * p; i < N; i += p) {
                is_prime[i] = false;
            }
        }
    }
    for (int p = 2; p < N; ++p) {
        if (is_prime[p]) {
            primes.push_back(p);
        }
    }
}

int main() {
    linear_sieve();
    for (int i = 0; i < primes.size(); ++i) {
        cout << primes[i] << " ";
    }
    return 0;
}

这两种算法都可以有效地求解素数，但线性筛法相对于埃氏筛法在筛选次数上有很大优势。