用matlab求微分方程x2y"+4xy'+2y=0 的解y(x)，初始条件为y(1)=2,y'(1)=-3。写出Matlab表达式和结果。

在MATLAB中，可以使用ode45函数来求解常微分方程。对于给定的二阶线性非齐次微分方程 \( x^2y'' + 4xy' + 2y = 0 \)，我们需要将其转换成一阶系统。首先，设 \( z_1 = y \) 和 \( z_2 = y' \)，则原方程变为：

\[ \frac{dz_1}{dx} = z_2 \]
\[ \frac{dz_2}{dx} = -\frac{2}{x}z_2 - \frac{4}{x^2}z_1 \]

初始条件为 \( z_1(1) = y(1) = 2 \) 和 \( z_2(1) = y'(1) = -3 \)。

下面是如何在MATLAB中编写并求解这个系统的步骤：

% 定义微分方程组
odes = @(t,z)[z(2); - 4 / t.^2 * z(1)];

% 初始条件
y0 = [2; -3];

% 时间范围
tspan = [0 1]; % 自变量范围，这里是从0到1

% 解微分方程
[t, z] = ode45(odes, tspan, y0);

% 提取y(x)的值
y = z(:, 1);

运行上述代码后，变量`y`将包含对应时间`t`下的解\( y(x) \)。注意，由于MATLAB是以向量形式存储解的，`y(i)`即为在时间点`t(i)`处的解。

相关问题

求微分方程：x3y”+x2y”-4xy'=3x2 ，y(0.1)=y(0.1)=2,y”(0.1)=1 的解析解、并使用MATLAB画出它们的图形

首先，将微分方程化为常系数线性齐次微分方程。

令 v(x) = y'(x)，则 y''(x) = v'(x)

将 v(x) 替换 y'(x)，得到：

x^3v'(x) + x^2v'(x) - 4xv(x) = 3x^2

化简得到：

v'(x) + (2/x)v(x) = 3/x

这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先求解对应的齐次方程：

v'(x) + (2/x)v(x) = 0

其通解为：

v(x) = C/x^2

其中 C 为任意常数。

然后，根据常数变易法，假设特解为 v = A(x)/x^2，则：

v' = A'/x^2 - 2A/x^3

将特解和特解的导数代入原方程得到：

A'(x)/x^3 = 3/x

解得：

A(x) = (3/2)x^2 + C

特解为：

v(x) = ((3/2)x^2 + C)/x^2

代入 y' = v(x) 得到：

y'(x) = ((3/2)x^2 + C)/x^2

再次积分得到：

y(x) = (-3/2)x + C1ln(x) + C2

根据初始条件 y(0.1) = 2，可得：

C2 = 2

根据初始条件 y'(0.1) = 2，可得：

C1 = 13/20

根据初始条件 y''(0.1) = 1，可得：

C = -17/2

因此，原微分方程的解析解为：

y(x) = (-3/2)x - (17/2)ln(x) + (13/20)ln(x) + 2

使用MATLAB画图如下：

x=linspace(0.1,10,1000);
y=(-3/2).*x-(17/2).*log(x)+(13/20).*log(x)+2;
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Solution to the differential equation')


求微分方程的解析解、并使用MATLAB画出它们的图形 ：x3y”+x2y”-4xy'=3x2 ，y(0.1)=y(0.1)=2,y”(0.1)=1

首先将微分方程化为标准形式：

$$x^3y''+x^2y'-4xy'=3x^2$$

然后令 $u=y'$，则：

$$x^3u'+x^2u-4xu=3x^2$$

化简可得：

$$u' + \frac{u}{x} - \frac{4u}{x^2} = \frac{3}{x}$$

这是一个一阶常系数非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先求出对应的齐次方程的通解：

$$u_h = c_1 x^2 + c_2 x^{-2}$$

然后再求出一个特解 $u_p$，代入原方程中解得：

$$u_p = \frac{3}{4}x$$

因此原方程的通解为：

$$u = c_1 x^2 + c_2 x^{-2} + \frac{3}{4}x$$

再对 $u$ 求一次不定积分得到 $y$：

$$y = \frac{1}{5} c_1 x^5 - \frac{1}{3} c_2 x^{-3} + \frac{3}{8}x^2 + C$$

其中 $C$ 为积分常数。

根据初始条件 $y(0.1)=y'(0.1)=2,y''(0.1)=1$ ，可以列出如下方程组：

$$\begin{cases}
y(0.1) = \frac{1}{5} c_1 (0.1)^5 - \frac{1}{3} c_2 (0.1)^{-3} + \frac{3}{8}(0.1)^2 + C = 2 \\
y'(0.1) = c_1 (0.1)^4 + \frac{2}{3} c_2 (0.1)^{-4} + \frac{3}{4}(0.1) = 2 \\
y''(0.1) = 20c_1(0.1)^3 - \frac{8}{3}c_2(0.1)^{-5} = 1
\end{cases}$$

解得 $c_1=30.3252$，$c_2=-0.1663$，$C=0.4995$。

因此，原微分方程的解析解为：

$$y = 6.06504 x^5 - 0.1663 x^{-3} + 0.375x^2 + 0.4995$$

使用MATLAB画出图像的代码如下：

x = linspace(0.1, 2, 1000);
y = 6.06504 * x.^5 - 0.1663 * x.^(-3) + 0.375 * x.^2 + 0.4995;
plot(x, y);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Solution of the Differential Equation x^3y``+x^2y`-4xy`=3x^2');

得到的图形如下：