python模拟玻尔兹曼的能量分布

Python可以用来模拟玻尔兹曼能量分布，这是统计力学中的一个概念，用于描述在一个热力学系统中，粒子如何根据其能量状态的概率分布。玻尔兹曼分布表明，在给定温度下，每个能量级的粒子数与其能量成指数关系，概率密度与能量的负一次方成正比。

以下是一个简单的Python代码示例，利用numpy库来模拟这个过程：

import numpy as np

def boltzmann_distribution(energy_levels, temperature):
    # 玻尔兹曼常数 k_B = 1 (假设简化单位)
    Boltzmann_constant = 1
    partition_function = np.sum(np.exp(-energy_levels / temperature))
    probabilities = np.exp(-energy_levels / temperature) / partition_function
    return probabilities

# 假设我们有几种能量级别，比如从0到10
energy_levels = np.arange(0, 11)
temperature = 1  # 设定一个温度，通常以开尔文为单位

probabilities = boltzmann_distribution(energy_levels, temperature)
print("各能量级的概率分布:", probabilities)

相关问题

python写不同温度下的玻尔兹曼分布

在Python中，我们可以使用伯努利试验模拟玻尔兹曼分布，这个分布通常用于描述在一个热力学系统中，粒子处于特定能量状态的概率与其能量成指数关系。玻尔兹曼分布公式是这样的：

\[ P(E) = \frac{e^{-\beta E}}{Z} \]

其中 \( P(E) \) 是粒子处于能量 \( E \) 的概率，\( Z \) 是分区函数，\( \beta \) 是玻尔兹曼常数，等于 \( \frac{1}{kT} \)，其中 \( k \) 是玻尔兹曼常数，而 \( T \) 是绝对温度（单位开尔文）。

下面是一个简单的例子，假设我们有一个粒子集合，每个粒子有不同的能量值，并计算在不同温度下它们分布在各个能级的概率：

import numpy as np

# 定义玻尔兹曼常数和初始温度
k_B = 1.380649e-23  # 焦耳·开尔文^-1·千克^-1
boltzmann_constant = 1 / (k_B * 1.0e-7)  # 转换为毫开尔文（mK）

# 定义粒子的能量列表和总能量数
energies = np.arange(1, 11)
energy_values = np.array(list(range(len(energies))))
total_particles = len(energies)

def boltzmann_distribution(temperature):
    partition_function = np.sum(np.exp(-boltzmann_constant * energies))
    probabilities = np.exp(-boltzmann_constant * energies * temperature) / partition_function
    return probabilities, partition_function

# 示例：在不同温度下的概率计算
temperatures = [100, 200, 500]  # 单位: mK
for temp in temperatures:
    prob_dist, Z = boltzmann_distribution(temp)
    print(f"Temperature: {temp} mK")
    print(f"Probability distribution for each energy state:\n{prob_dist}")
    print(f"Partition Function: {Z}\n")

用速度Verlet算法实现等温过程的模拟。编写Python程序实现6×6=36个粒子在二维平面的运动；初始时刻粒子均匀分布，初始速度随机分布（高斯分布）；粒子间相互作用以L-J势能描述；周期性边界条件；统计粒子的均方根位移，并计算自扩散系数。生成动图

速度Verlet算法，也称为半时间步长法，是一种经典的分子动力学模拟方法，用于精确模拟系统的位置和动量。要实现等温过程的模拟，我们需要维护系统的温度并控制其能量。以下是Python程序的一个简化版本，它实现了6x6个粒子在二维平面上的运动：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 参数设置
N = 36
box_size = 10
dt = 0.01
T = 300  # 温度 (K)
k_B = 1.38e-23  # 开尔文-玻尔兹曼常数
gamma = 5  # 摄尔修斯冷却速率
steps = 100000  # 总步骤数

def LJ_potential(r):
    return 4 * ((sigma / r)**12 - (sigma / r)**6)

def force_on_particle(i, pos, box_size, masses):
    forces = [np.zeros(2) for _ in range(N)]
    for j in range(N):
        if i != j:
            rij = pos[j] - pos[i]
            rij %= box_size
            r = np.linalg.norm(rij)
            f = (-LJ_potential(rij) / r**13 + LJ_potential(rij) / r**7) * masses[j]
            forces[i] += f
    return forces[i]

# 初始化
pos = np.random.uniform(low=-box_size/2, high=box_size/2, size=(N, 2))
vels = norm.rvs(size=(N, 2), scale=np.sqrt(T * k_B / masses))  # 高斯分布
masses = np.ones(N)  # 假设所有粒子质量相等
kBT = T * k_B

# Verlet算法核心
for step in range(steps):
    vel_new = vels + dt * (force_on_particle(np.arange(N), pos, box_size, masses) / masses) + gamma * dt * vels / N
    pos_next = pos + vel_new * dt + 0.5 * dt ** 2 * force_on_particle(np.arange(N), pos + vel_new * dt, box_size, masses)
    
    # 碰撞处理和更新状态
    pos_next = np.mod(pos_next, box_size)  # 周期性边界条件
    energies = LJ_potential(np.abs(pos_next[:, None, :] - pos_next[None, :, :]))  # 计算所有对之间的势能
    kinetic_energy = 0.5 * np.sum(masses * vels ** 2)
    total_energy = kinetic_energy + np.sum(energies)
    factor = np.exp(-dt * (total_energy - kBT * N) / k_BT)
    pos, vels = pos_next * factor, vel_new * factor
    
# 统计和绘图
mean_squared_displacement = np.mean((pos[-1] - pos[0])**2, axis=0)
diffusion_coefficient = 2 * mean_squared_displacement / (steps * dt)

print("Mean Squared Displacement:", mean_squared_displacement)
print("Diffusion Coefficient:", diffusion_coefficient)

plt.scatter(pos[:, 0], pos[:, 1])
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.title("Particle Distribution at the End of Simulation")
plt.show()

这个程序会生成一个粒子分布的图像以及最后一步的平均平方位移和扩散系数。注意，这只是一个基本的示例，实际应用中可能需要更复杂的碰撞检测、热浴或者其他调整来维持恒定的温度。